本构积分#
本构积分决定了有限元分析的数值精度与收敛性，是实现复杂材料非线性行为模拟的核心环节本构积分在有限元求解中作用于单元应力更新阶段，即根据应变增量（通过求解整体刚度矩阵得到的位移增量获得），更新材料点应力和内变量状态（如塑性应变、硬化参数）的核心计算过程，即，已知
\[
\begin{equation}
\boldsymbol{\varepsilon}_{n+1},\ \boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{e},\ \boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{p},\ \bar{\varepsilon}_{n}^{p},\ \boldsymbol{\sigma}_{n},\ \dots
\end{equation}
\]
求解
\[
\begin{equation}
\boldsymbol{\sigma}_{n+1},\ \boldsymbol{\varepsilon}_{n+1}^{p},\ \bar{\varepsilon}_{n+1}^{p},\ \dots
\end{equation}
\]
弹塑性本构初值问题#
已知
初始弹性应变 \(\boldsymbol{\varepsilon}^e(t_0)\) 和 硬化变量 \(\boldsymbol{\alpha}(t_0)\)
应变历史 \(\boldsymbol{\varepsilon}(t)\), \(t \in [t_0, T]\)
求解
\[
\boldsymbol{\varepsilon}^e(t),\ \boldsymbol{\alpha}(t),\ \dot{\gamma}(t)
\]
满足
弹性应变的演化方程
\[
\begin{equation}
\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^e(t) = \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}(t) - \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}(t)= \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}(t) - \dot{\gamma}(t) \mathbf{N}(\boldsymbol{\sigma}(t), \mathbf{A}(t))
\end{equation}
\]
硬化变量的演化方程
\[
\begin{equation}
\dot{\boldsymbol{\alpha}}(t) = \dot{\gamma}(t) \mathbf{H}(\boldsymbol{\sigma}(t), \mathbf{A}(t))
\end{equation}
\]
屈服条件与一致性条件
\[
\begin{equation}
\dot{\gamma}(t) \geq 0, \quad \Phi(\boldsymbol{\sigma}(t), \mathbf{A}(t)) \leq 0, \quad \dot{\gamma}(t) \Phi(\boldsymbol{\sigma}(t), \mathbf{A}(t)) = 0
\end{equation}
\]
隐式欧拉离散#
在本构积分（尤其是塑性力学）过程中，隐式欧拉离散方法因其优异的数值稳定性、能够处理较大步长、适用于非线性本构关系积分，并且易于保证物理约束和计算收敛性，因而被广泛应用于工程与科学计算领域
因此，初值问题离散化为
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\boldsymbol{\varepsilon}^{e}_{n+1} = \boldsymbol{\varepsilon}^{e}_{n} + \Delta\boldsymbol{\varepsilon} - \Delta\gamma\mathbf{N}(\boldsymbol{\sigma}_{n+1},\mathbf{A}_{n+1}),\\
&\boldsymbol{\alpha}_{n+1} = \boldsymbol{\alpha}_{n} + \Delta\gamma\mathbf{H}(\boldsymbol{\sigma}_{n+1},\mathbf{A}_{n+1}),\\
&\Delta\gamma \geq 0, \quad \Phi(\boldsymbol{\sigma}_{n+1}, \mathbf{A}_{n+1}) \leq 0, \quad \Delta\gamma \Phi(\boldsymbol{\sigma}_{n+1}, \mathbf{A}_{n+1}) = 0,
\end{aligned}
\end{equation}
\end{split}\]
其中，\(\Delta(\cdot)=(\cdot)_{n+1}-(\cdot)_{n}\)