有限元计算#
在有限元方法中，偏微分方程通过变分法与分片多项式进行离散，最终被转化为线性方程组的形式。例如，对于一维线弹性问题，其形式为
\[
\left(\phi_{j}\sum_{i=0}^{n}c_{i}\left.\frac{\partial \phi_{i}}{\partial x}\, \right)\right|^{x=L}_{x=0} + \sum_{i=0}^{n}c_{i}\int_{0}^{L}\frac{\partial \phi_{i}}{\partial x}\frac{\partial \phi_{j}}{\partial x}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{L}f\,\phi_{j}\,\mathrm{d}x,\quad j=0:n.
\]
其中，\(\left\{\phi_{i}\right\}_{i=1}^{n}\) 是分片多项式函数空间的基函数，\(\left\{c_{i}\right\}_{i=1}^{n}\) 是待定求解的系数，通过求解线性方程组得到，于是有限元近似解为
\[
u_{h} = \sum_{i=1}^{n}c_{i}\phi_{i} = \sum_{i=1}^{n}u_{i}\phi_{i}.
\]
由于 \(\phi_{i}\) 是基于单元的分片多项式，因此不论是刚度矩阵的计算
\[
\int_{0}^{L}\frac{\partial \phi_{i}}{\partial x}\frac{\partial \phi_{j}}{\partial x}\,\mathrm{d}x,
\]
还是场变量分布计算
\[
u_{h}(x,y) = \sum_{i=1}^{n}u_{i}\phi_{i}(x,y),
\]
都可以转换为单元上的计算
\[
\int_{0}^{L}\frac{\partial \phi_{i}}{\partial x}\frac{\partial \phi_{j}}{\partial x}\,\mathrm{d}x = \sum_{E}\int_{E}\frac{\partial \phi_{i}}{\partial x}\frac{\partial \phi_{j}}{\partial x}\,\mathrm{d}E = \sum_{E}\int_{E}\frac{\partial \left.\phi_{i}\right|_{E}}{\partial x}\frac{\partial \left.\phi_{j}\right|_{E}}{\partial x}\,\mathrm{d}E
\]
和
\[
u_{h}(x,y) = \sum_{i=1}^{n}u_{i}\left.\phi_{i}(x,y)\right|_{E_{(x,y)}}
\]
因此，关键在于得到
\[
\begin{equation}
\left.\phi_{i}\right|_{E}
\end{equation}
\]
另一方面，由于 \(\phi_{i}\) 具有局部支性（即仅在与节点相邻的单元上取值非零），因此，对于 \(\phi_{i}\)，只需关注那些使得 \(\phi_{i}\) 非零的单元（相邻单元）中的表达式，在这些单元中，\(\phi_{i}\) 具有以下性质
多项式：\(\left.\phi_{i}\right|_{E}\) 是多项式
插值性：在自身节点取值为 1, 其余节点取值为 0
连续性：在相邻单元边界处满足 \(C^{0}\) 连续
\(\left.\phi_{i}\right|_{E}\) 与单元 \(E\) 的几何形状密切相关，这给 \(\left.\phi_{i}\right|_{E}\) 的构造带来了高度的复杂性
为简化计算，通常基于参考单元（如二维标准三角形/矩形单元，三维标准四面体/六面体单元）构造基函数（形函数），再通过坐标变换将一般单元（物理单元）上的计算映射回参考单元
Fig. 5 从一般单元映射到参考单元#
这样，通过解耦基函数构造与单元几何形态，有效规避了复杂单元几何对基函数构造的影响，确保不同几何形态单元基函数表达的统一性