第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量#
第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量是对称张量，广泛应用于非线性力学分析。它同样以参考构形为基础，常用于建立大变形下的应力-应变关系，特别适合于推导和表达材料的本构关系及能量守恒等理论分析第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量（简记为 PK2 应力张量）定义为
\[
\mathbf{S} = F^{-1}\mathbf{P} = JF^{-1}\boldsymbol{\sigma}F^{-T},
\]
PK1 应力描述的是当前力在参考面积上的分布，表示参考构型下单位面积上所受的当前构型下的力
PK2 应力描述的是参考力在参考面积上的分布，该参考力并非真实存在的力，而是通过逆变形梯度 \(F^{-1}\) 将真实力 \(\mathrm{d}\mathbf{f}\) 映射回参考构型的等效力 \(\mathrm{d}\mathbf{F}_{\text{ref}}\)
也可以用 \(\mathbf{S}\) 表示 \(\boldsymbol{\sigma}\)
\[
\boldsymbol{\sigma} = J^{-1}F\mathbf{S}F^{T}.
\]
对称性#
若 \(\boldsymbol{\sigma}\) 对称，则 \(\mathbf{S}\) 也对称
客观性#
对于刚体旋转，\(F' = RF\)，\(R\) 是旋转变换矩阵，满足 \(RR^{T} = I\)，且
\[
J' = \det(F') = \det(R)\det(F) = \det(F) = J,
\]
此时
\[
\mathbf{S}' = J'F'^{-1}\boldsymbol{\sigma}'F'^{-T} = JF^{-1}R^{-1}(R\boldsymbol{\sigma}R^{T})RF^{-T} = \mathbf{S},
\]
即 PK2 应力在刚体旋转下保持不变，具有客观性
内功率#
由于
\[
\dot{\mathbf{E}} = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(F^{T}F-I) = \frac{1}{2}(F^{T}\dot{F}+\dot{F}^{T}F) = F^{T}\mathbf{D}F,
\]
故
\[
\mathbf{D} = F^{-T}\dot{\mathbf{E}}F,
\]
由于相似变换保迹，于是
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{D} &= \boldsymbol{\sigma}:F^{-T}\dot{\mathbf{E}}F = \text{tr}(\boldsymbol{\sigma}F^{-T}\dot{\mathbf{E}}F) \\
&= \text{tr}(F^{-1}\boldsymbol{\sigma}F^{-T}\dot{\mathbf{E}}) = F^{-1}\boldsymbol{\sigma}F^{-T}:\dot{\mathbf{E}}\\
&=J^{-1}\mathbf{S}:\dot{\mathbf{E}},
\end{aligned}
\end{equation}
\end{split}\]
于是
\[
P_{\text{int}} = \int_{V}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{D}\ \mathrm{d}V = \int_{V_{0}}\mathbf{S}:\dot{\mathbf{E}}\ \mathrm{d}V_{0}.
\]