应力张量

应力张量描述了材料内部某点各方向上的力分布，是对该点内部力状态的完整表达，没有信息损失。不同的应力度量只是参考系不同，本质上都可通过数学变换与Cauchy应力张量互相转换，信息不会丢失

应力张量是描述材料在外力或内力作用下，任意一点微元体内部受力状态的二阶张量。它全面反映了材料在各个方向上所承受的拉应力、压应力以及剪应力等力的分布情况，不仅量化了不同方向上的力的大小，还准确描述了这些力的作用方向。作为固体力学和材料力学中的核心物理量，应力张量为分析材料内部力学响应、预测结构破坏以及建立应力-应变关系提供了理论依据

参考构型

在物体受力变形的过程中，其空间位置和体积形状会随时间不断变化，因此内功率的计算中，积分区域 \(V\) 随时间而变化，通常将积分区域从当前构型 \(V\) 转换到参考构型 \(V_{0}\) 上，利用体积微元的变换关系，有

\[ \int_{V}\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x}):\mathbf{D}(\mathbf{x})\ \mathrm{d}V = \int_{V_{0}}(\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x}(\mathbf{X})):\mathbf{D}(\mathbf{x}(\mathbf{X})))J\mathrm{d}V_{0}, \]

此时，还需要将 Cauchy 应力张量 \(\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x}(\mathbf{X}))\) 和对称速度梯度 \(\mathbf{D}(\mathbf{x}(\mathbf{X}))\) 分别转换到参考构型下的物理量。这就引入了第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量 \(\mathbf{P}\) 以及第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量 \(\mathbf{S}\)，从而使得内功率等物理量能够方便地在参考构型下表达和计算