辛普森公式
假设积分区间 \([a,b]\) 被均匀地划分为偶数段 \(n\)，每段的长度为 \(h=\frac{b-a}{n}\)，划分节点依次为 \(x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\)，于是 \(x_{i} = a + i\cdot h,\, i=0,2,\cdots,n\)
辛普森公式在每个小区间 \([x_{i-1}, x_{i+1}]\) 上采用二次多项式对 \(f(x)\) 插值，通过插值多项式的面积来近似积分值。使用拉格朗日插值多项式
\[
P(x) = f(x_{i-1})L_{i-1}(x) + f(x_{i})L_{i}(x) + f(x_{i+1})L_{i+1}(x)
\]
构造插值多项式，其中 \(L_{i-1}(x), L_{i}(x), L_{i+1}(x)\) 是节点 \(x_{i-1}, x_{i}, x_{i+1}\) 处的基函数
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{aligned}
L_{i-1}(x)&=\frac{(x - x_{i})(x - x_{i+1})}{(x_{i-1} - x_{i})(x_{i-1} - x_{i+1})},\\
L_{i}(x)&=\frac{(x - x_{i-1})(x - x_{i+1})}{(x_{i} - x_{i-1})(x_{i} - x_{i+1})},\\
L_{i+1}(x)&=\frac{(x - x_{i-1})(x - x_{i})}{(x_{i+1} - x_{i-1})(x_{i+1} - x_{i})}.
\end{aligned}
\end{equation}
\end{split}\]
于是，在区间 \([x_{i-1}, x_{i+1}]\) 上的积分为
\[
\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}P(x)\,\mathrm{d}x = \frac{h}{3}\left[f(x_{i-1}) + 4f(x_{i})+f(x_{i+1})\right].
\]
插值多项式 \(P(x)\) 的误差公式为
\[
\begin{equation}
e(x) = \frac{f'''(\xi)}{3!}(x-x_{i-1})(x-x_{i})(x-x_{i+1}),\quad \xi\in(x_{i-1},x_{i+1}).
\end{equation}
\]
证明
定义辅助函数
\[
g(t) = f(t) - P(t) - K\cdot (t-x_{i-1})(t - x_{i})(t-x_{i+1}).
\]
对于任意一点 \(x\in[x_{i-1},x_{i+1}]\)，令 \(g(x) = 0\)，其中 \(x\neq x_{i-1},x_{i},x_{i+1}\)，于是 \(g(t)\) 至少有 4 个零点（ \(x,x_{i-1},x_{i},x_{i+1}\) ）。反复运用罗尔定理，必然存在 \(\xi\in[x_{i-1},x_{i+1}]\)，使得
\[
g'''(\xi)=0,
\]
于是
\[
f'''(\xi) - P'''(\xi) - 6K = 0,
\]
因为 \(P'''(t)\equiv0\)，于是整理得到
\[
K = \frac{f'''(\xi)}{3!}.
\]
代入误差公式
\[
\begin{equation}
e(x) = f(x) - P(x) = \frac{f'''(\xi)}{3!}(t-x_{i-1})(t - x_{i})(t-x_{i+1}),\quad \xi\in[x_{i-1},x_{i+1}].
\end{equation}
\]
积分误差
\[
E = \int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}f(x) - P(x)\, \mathrm{d}x.
\]
令 \(p(x) = (x-x_{i-1})(x-x_{i})(x-x_{i+1})\)，构造辅助函数
\[
\phi(x)=f(x) - P(x) - kp(x) - \frac{E}{\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}xp(x)\,\mathrm{d}x}xp(x)\,\mathrm{d}x,
\]
于是 \(\phi(x_{i-1})=\phi(x_{i})=\phi(x_{i+1})=0\).由 \(\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}p(x)=0\)，导出 \(\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}\phi(x)=0\). 此外，\(\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}p(x)\neq0\)，因此存在 \(k\) 使得 \(\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\phi(x)=0\)，由
\[
0=\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}\phi(x)\,\mathrm{d}x=\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\phi(x)\,\mathrm{d}x + \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}\phi(x)\,\mathrm{d}x
\]
得到 \(\int_{x_{1}}^{x_{i+1}}\phi(x)=0\)，这表面 \(\phi(x)\) 在区间 \((x_{i-1}, x_{i})\) 和 \((x_{i},x_{i+1})\) 中分别至少存在一个零点，因此 \(\phi(x)\) 在区间 \([x_{i-1},x_{i+1}]\) 中至少存在五个不同的零点。由罗尔定理，存在一点 \(\xi\) 使得
\[
0 = \phi^{(4)}(\xi) = f^{(4)}(\xi) - \frac{4!E}{\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}xp(x)\,\mathrm{d}x},
\]
于是
\[
E = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}xp(x)\,\mathrm{d}x=-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi).
\]
在区间 \([a,b]\) 上有
\[
\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{h}{3}(f(x_{0})+4\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}f(x_{2i+1})+2\sum_{i=1}^{\frac{n}{2}-1}f(x_{2i})+f(x_{n})),
\]
总误差为
\[
E_{\text{总}} = \sum_{i=1,3,...}^{n}-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi)=-\frac{(b-a)h^{4}}{180}f^{(4)}(\eta).
\]
