本构方程#
本构方程揭示了应变与应力之间的内在联系。通过实验研究与理论推导，对材料在不同载荷条件下的变形行为进行分析，建立了描述应力与应变关系的方程在理想弹性体中，应变与应力的分量满足广义胡克定律
(34)#\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\varepsilon_{xx} = \frac{1}{E} \left[ \sigma_{xx} - \nu (\sigma_{yy} + \sigma_{zz}) \right],\\
&\varepsilon_{yy} = \frac{1}{E} \left[ \sigma_{yy} - \nu (\sigma_{zz} + \sigma_{xx}) \right],\\
&\varepsilon_{zz} = \frac{1}{E} \left[ \sigma_{zz} - \nu (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) \right],\\
&\gamma_{yz} = \frac{1}{G} \sigma_{yz}, \quad \gamma_{zx} = \frac{1}{G} \sigma_{zx}, \quad \gamma_{xy} = \frac{1}{G} \sigma_{xy},
\end{aligned}
\end{equation}
\end{split}\]
其中
\(E\)（拉压弹性模量）：又称弹性模量，是衡量材料在弹性范围内抵抗拉伸或压缩形变能力的物理量，反映材料的刚性或硬度
\(G\)（切变模量）：又称剪切模量或刚度模量，是描述材料在弹性范围内抵抗剪切形变能力的物理量，反映材料在受剪切力作用下的刚性
\(\nu\)（泊松比）：又称泊松系数，是描述材料在一个方向受拉伸或压缩时，横向形变与轴向形变之比的物理量，反映材料变形的各向异性特征
它们之间满足
(35)#\[
G = \frac{E}{2(1+\nu)}.
\]
应力与应变的关系可以写为
\[
\boldsymbol{\sigma}=\mathbf{D}:\boldsymbol{\varepsilon},
\]
其中，\(\boldsymbol{\sigma}\) 是应力张量，\(\boldsymbol{\varepsilon}\) 是应变张量，\(\mathbf{D}\) 是四阶本构张量
\[
D_{ijkl} = \lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+\mu(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})
\]
其中，\(\lambda=\frac{E \nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\) 是第一拉梅常数，\(\mu=G=\frac{E}{2(1+\nu)}\) 是第二拉梅常数，于是
\[
\boldsymbol{\sigma}_{ij}=\mathbf{D}_{ijkl}\boldsymbol{\varepsilon}_{kl}
\]
也可以写为 Voigt 形式
\[
\boldsymbol{\sigma}=\mathbf{D}\boldsymbol{\varepsilon},
\]
其中，\(\boldsymbol{\sigma}\) 是应力向量，\(\boldsymbol{\varepsilon}\) 是应变向量，\(\mathbf{D}\) 是本构矩阵
\[\begin{split}
\begin{equation}
\boldsymbol{\sigma}=
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx}\\\sigma_{yy}\\\sigma_{zz}\\\sigma_{xy}\\\sigma_{xz}\\\sigma_{yz}
\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{\varepsilon}=
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{xx}\\\varepsilon_{yy}\\\varepsilon_{zz}\\2\varepsilon_{xy}\\2\varepsilon_{xz}\\2\varepsilon_{yz}
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{D} =
\begin{bmatrix}
\lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
\lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
\lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu
\end{bmatrix}.
\end{equation}
\end{split}\]
其中，\(\lambda\) 和 \(\mu\) 是拉梅常数