反对称矩阵
反对称矩阵是描述刚体旋转的核心数学工具
反对称矩阵定义为
\[
A^{T} = -A,
\]
对于三维空间中的任意反对称矩阵 \(A\)，均可表示为
\[\begin{split}
A=\begin{bmatrix}
0 & -a_{3} & a_{2} \\
a_{3} & 0 & -a_{1} \\
-a_{2} & a_{1} & 0
\end{bmatrix} ,
\end{split}\]
其中，\(\mathbf{a} = [a_1,\, a_2,\, a_3]^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}^3\) 是唯一确定该矩阵的三维向量，故将 \(A\) 记为
\[
A = \left[\mathbf{a}\right]_{\times}.
\]
也可以写为张量形式
\[
A_{ij}=-\epsilon_{ijk}a_{k},
\]
其中，\(\epsilon_{ijk}\) 是 Levi-Civita 符号
三维反对称矩阵 \(A\) 的特征值满足
\[
\det(A - \lambda I) = -\lambda \left(\lambda^2 + a_1^2 + a_2^2 + a_3^2\right),
\]
故特征值为
\[
\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = +i\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}, \quad \lambda_3 = -i\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.
\]
因此，\(A\) 的秩为 \(2\) 或 \(0\)
几何意义
对于任意的向量 \(\mathbf{r}\in\mathbb{R}^{3}\)，有
\[
A\mathbf{r} = \left[\mathbf{a}\right]_{\times} \mathbf{r}= \mathbf{a}\times\mathbf{r},
\]
这表明，三维反对称矩阵 \(A\) 对向量 \(\mathbf{r}\) 的线性变换，等价于向量 \(\mathbf{a}\) 与 \(\mathbf{r}\) 的叉乘运算
刚体旋转
根据 Rodrigues 公式，旋转轴为单位向量 \(\mathbf{u}=[u_{x},u_{y},u_{z}]\)，旋转角为 \(\theta\) 的旋转变换矩阵为
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{aligned}
R(\mathbf{u}, \theta) &= \cos \theta \cdot I + \sin \theta \cdot [\mathbf{u}]_{\times} + (1 - \cos \theta) \cdot \mathbf{uu}^T\\
&=I + \sin \theta \cdot [\mathbf{u}]_{\times} + (1 - \cos \theta) \cdot(\mathbf{uu}^T - I)
\end{aligned}
\end{equation}
\end{split}\]
\(\mathbf{u}\) 是单位向量，故满足
\[
\mathbf{uu}^T - I = [\mathbf{u}]_{\times}^{2},
\]
因此，Rodrigues 公式可以写为
\[
R(\mathbf{u}, \theta) =I + \sin \theta \cdot [\mathbf{u}]_{\times} + (1-\cos\theta)[\mathbf{u}]_{\times}^{2}.
\]
指数形式
对于一般三维反对称矩阵 \(A = \left[\mathbf{a}\right]_{\times}\)，其中 \(\mathbf{a} = \|\mathbf{a}\|\mathbf{u}=\theta\mathbf{u}\)，于是
\[
A = \left[\mathbf{a}\right]_{\times} = \theta\left[\mathbf{u}\right]_{\times},
\]
根据李代数理论，绕轴 \(\mathbf{u}\) 旋转 \(\theta\) 度的矩阵可以表示为
(24)\[
R(A) = R(\mathbf{u},\theta) = e^{\theta\left[\mathbf{u}\right]_{\times}}=I+\frac{\theta\left[\mathbf{u}\right]_{\times}}{1!}+\frac{\theta^2\left[\mathbf{u}\right]_{\times}^2}{2!}+\frac{\theta^3\left[\mathbf{u}\right]_{\times}^3}{3!}+\cdots,
\]
通过计算容易证明
\[
[\mathbf{u}]_{\times}^{3} = -[\mathbf{u}]_{\times},\quad [\mathbf{u}]_{\times}^{4} = -[\mathbf{u}]^{2}_{\times},\quad [\mathbf{u}]_{\times}^{5} = [\mathbf{u}]_{\times},
\]
再结合 \(\sin\theta\) 和 \(\cos\theta\) 的泰勒展开式，能够推得 Rodrigues 公式
\[
R(\mathbf{u}, \theta) =I + \sin \theta \cdot [\mathbf{u}]_{\times} + (1-\cos\theta)[\mathbf{u}]_{\times}^{2}.
\]
由此可见，旋转矩阵可以完全由 \(A = \left[\mathbf{a}\right]_{\times}\) 确定，因此矩阵 \(A\) 也被称为旋转矩阵的生成元
无穷小旋转
当 \(\theta\rightarrow0\)，此时
\[
\sin\theta\rightarrow\theta,\quad 1-\cos\theta\rightarrow\frac{1}{2}\theta^2,
\]
代入并舍弃高阶项，得到
\[
R(\mathbf{u}, \theta)\approx I + \theta [\mathbf{u}]_{\times} = I + [\mathbf{a}]_{\times},
\]
上式可以作为旋转角度极小时的旋转矩阵的近似
若将 \(\theta\) 视为 \(\delta t\) 时间内均匀旋转的角度，则角速度 \(\omega_{\text{rot}} = \theta / \delta t\)，于是
\[
R(\mathbf{u}, \theta)\approx I + \omega_{\text{rot}} [\mathbf{u}]_{\times}\delta t = I + [\boldsymbol{\omega}_{\text{rot}}]_{\times}\delta t.
\]
速度梯度场
速度梯度场的的反对称部分为
\[
\mathbf{W} = \frac{1}{2}(\nabla\mathbf{v}-\nabla\mathbf{v}^{T}) = \frac{1}{2}\left[\nabla\times\mathbf{v}\right]_{\times},
\]
其中
\[\boldsymbol{\omega} = \nabla\times\mathbf{v}\]
是涡量，描述了微元的局部旋转趋势，即单位体积内的旋转强度和方向。涡量的方向表示旋转轴（按右手定则），大小表示旋转的强度（旋转的快慢）
涡量和角速度
设点 \(P(x,y,z)\) 绕点 \(O\) （相对位置矢量为 \(\mathbf{r}\)）的角速度为 \(\boldsymbol{\omega}_{\text{rot}}\)，则点 \(P\) 的速度为
\[
\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega}_{\text{rot}}\times\mathbf{r},
\]
于是
\[
\boldsymbol{\omega} = \nabla\times\mathbf{v} = \nabla\times(\boldsymbol{\omega}_{\text{rot}}\times\mathbf{r}),
\]
根据恒等式
\[
\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a}\ (\nabla \cdot \mathbf{b}) - \mathbf{b}\ (\nabla \cdot \mathbf{a}) + (\mathbf{b} \cdot \nabla)\ \mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \nabla)\ \mathbf{b},
\]
由于 \(\boldsymbol{\omega}_{\text{rot}}\) 是常向量，且 \(\mathbf{r} = [x,y,z]\)，代入得到
\[
\boldsymbol{\omega} = 2\boldsymbol{\omega}_{\text{rot}}.
\]
于是
\[
\mathbf{W} = \frac{1}{2}\left[\boldsymbol{\omega}\right]_{\times} = \left[\boldsymbol{\omega}_{\text{rot}}\right]_{\times},
\]
在某一点 \(\mathbf{x}\) 附近，速度场可以近似为
\[
\mathbf{v}(\mathbf{x}+\delta\mathbf{r}) \approx \mathbf{v}(\mathbf{x})+\nabla\mathbf{v}\cdot\delta\mathbf{r} = \mathbf{v}(\mathbf{x})+\mathbf{D}\delta\mathbf{r}+\mathbf{W}\delta\mathbf{r},
\]
因此
\[
\mathbf{W}\delta\mathbf{r} = \left[\boldsymbol{\omega}_{\text{rot}}\right]_{\times}\delta\mathbf{r} = \boldsymbol{\omega}_{\text{rot}}\times\delta\mathbf{r},
\]
因此 \(\mathbf{W}\delta\mathbf{r}\) 是局部刚体旋转对该点贡献的瞬时速度
