位移法和应力法

两类平面问题讨论了两类平面问题，即平面应力问题 (36) 和平面应变问题 (38)。这些问题的求解过程涉及多个方程与变量的联立求解，具有较高的复杂性，常常采用消元法对其进行求解，主要分为两类方法：

1. 位移法：以位移分量为基本未知量，消去应力和应变分量，导出仅含位移的方程进行求解

2. 应力法：以应力分量为基本未知量，消去应变和位移分量，导出仅含应力的方程进行求解

位移法

对于平面应力问题，在 (36) 中反解出应力

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} \sigma_{xx} &= \frac{E}{1 - \nu^2} \left( \varepsilon_{xx} + \nu \varepsilon_{yy} \right), \\ \sigma_{yy} &= \frac{E}{1 - \nu^2} \left( \varepsilon_{yy} + \nu \varepsilon_{xx} \right), \\ \sigma_{xy} &= \frac{E}{2(1 + \nu)} \gamma_{xy}, \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

将几何方程 (33) 代入到式

(40)\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} \sigma_{xx} &= \frac{E}{1 - \nu^2} \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \nu \frac{\partial v}{\partial y} \right), \\ \sigma_{yy} &= \frac{E}{1 - \nu^2} \left( \frac{\partial v}{\partial y} + \nu \frac{\partial u}{\partial x} \right), \\ \sigma_{xy} &= \frac{E}{2(1 + \nu)} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right), \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

将上式代入到平衡方程 (30)，整理得到

将 \(E\) 和 \(\nu\) 分别替换成 \(\frac{E}{1-\nu^2}\) 和 \(\frac{\nu}{1-\nu}\) 就能够得到平面应变问题按位移求解的方程

(41)\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} \frac{E}{1 - \nu^2} \bigg( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{1 - \nu}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +\frac{1 + \nu}{2} \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} \bigg) + f_x &= 0, \\ \frac{E}{1 - \nu^2} \bigg( \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} +\frac{1 - \nu}{2} \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} +\frac{1 + \nu}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \bigg) + f_y &= 0. \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

在应变法中，应变被作为基本未知量。 在本构方程 (34) 中，应变与应力呈线性关系，因此可以通过应变轻松表示应力。进一步结合几何方程 (33)，应力可以方便地用位移表示，如方程 (40) 所示。这种特性使得位移法能够灵活地适应各种边界问题的求解，无论是位移边界条件、应力边界条件，还是二者的组合

相容方程

据几何方程 (33)，可以推导出相容方程

也称 形变协调方程

(42)\[ \frac{\partial^2 \varepsilon_{xx}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_{yy}}{\partial x^2} = \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y^2} + \frac{\partial^3 v}{\partial y \partial x^2} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right)= \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y}, \]

相容方程表明，连续体的应变分量 \(\varepsilon_x, \varepsilon_y, \gamma_{xy}\) 不是相互独立的

应力法

对于平面应力问题，将本构方程 (36) 代入到方程 (42) 中，得到

方程中仅保留了 \(\nu\)

(43)\[ \frac{\partial^2}{\partial y^2} (\sigma_{xx} - \nu \sigma_{yy}) + \frac{\partial^2}{\partial x^2} (\sigma_{yy} - \nu \sigma_{xx}) = 2(1 + \nu) \frac{\partial^2 \sigma_{xy}}{\partial x \partial y}. \]

联立平衡方程 (30)，共三个方程和三个求解变量：\(\sigma_{xx},\sigma_{yy},\sigma_{xy}\)

代入平衡方程可得

切应力互等定理

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} 2\frac{\partial^2 \sigma_{xy}}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y}\right)\\ &= -\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + f_y\right) - \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + f_y\right)\\ &=-\frac{\partial^2 \sigma_{xx}}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 \sigma_{yy}}{\partial y^2} - \frac{\partial f_x}{\partial x} - \frac{\partial f_y}{\partial y}, \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

将上式代入到方程 (43)，得到应力表示的相容方程

将 \(\nu\) 替换成 \(\frac{\nu}{1-\nu}\) 就能够得到平面应变问题按应力求解的方程

(44)\[ \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) = - (1 + \nu) \left( \frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} \right). \]

在应力法中，应力作为基本未知量，通过本构方程 (34) 表示应变，并结合几何方程 (33) 间接表示位移；然而，几何方程是一个微分方程组，求解过程较为复杂，这使得通过应力表示位移变得困难。因此，应力法通常仅适用于边界条件全部为应力边界条件的问题

常体积力的情况

在许多情况下，体积力是常量，例如重力或在恒定加速度下的惯性力。此时，按应力求解得到的方程组如下

\(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}\) 是调和函数

(45)\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} &\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} + f_x = 0, \\ &\frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial x} + f_y = 0,\\ &\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) = 0. \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

方程中不包含任何弹性体的材料参数，如 \(E\)、\(G\)、\(\nu\)

针对平面应力问题或平面应变问题

这表明，当体积力为常量时，如果两个弹性体具有相同边界形状和应力边界条件，那么无论这两个弹性体的材料性质是否相同，也无论它们处于平面应力还是平面应变状态，其应力的分布都将完全一致

Example

在实验应力分析中：

1. 用便于测量的材料制成模型，替代原本不便于测量的结构材料

2. 用平面应力条件下的薄板模型替代平面应变条件下的长柱形结构

See also

应力方程 (45) 的求解：

首先考虑平衡方程的求解，非齐次微分方程组的解由任意一个特解与齐次方程的通解相加组成，特解可以取为

\[ \sigma_{xx} = -f_x \, x, \quad \sigma_{yy} = -f_y \, y, \quad \sigma_{xy} = 0. \]

对于其齐次形式

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} &\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} = 0, \\ &\frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial x} = 0, \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

由于

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial y} (-\sigma_{yx}),\\ \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial x} (-\sigma_{xy}), \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

所以存在 \(A\) 和 \(B\) 使得

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} \sigma_{xx} = \frac{\partial A}{\partial y},\quad -\sigma_{yx} = \frac{\partial A}{\partial x},\\ \sigma_{yy} = \frac{\partial B}{\partial x},\quad -\sigma_{xy} = \frac{\partial B}{\partial y},\\ \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

进一步地，存在 \(\Phi\) 满足

\[ A = \frac{\partial \Phi}{\partial y},\quad B = \frac{\partial \Phi}{\partial x}, \]

因此

\[ \sigma_{xx} = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2}, \quad \sigma_{yy} = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}, \quad \sigma_{xy} = -\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial y}, \]

其中 \(\Phi\) 称为平面问题的应力函数，又称艾里应力函数，通过 \(\Phi\) 可以表示出 \(\sigma_{xx},\sigma_{yy},\sigma_{xy}\)。将上式代入到方程 (45) 的第三式中，整理得到

\[ \frac{\partial^4 \Phi}{\partial x^4} + 2 \frac{\partial^4 \Phi}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4 \Phi}{\partial y^4} = 0, \]

这表明应力函数满足重调和方程，是重调和函数