第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量

第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量是非对称应力张量，常用于非线性力学分析。它以参考构形为基础，能够方便地处理边界条件、建立大变形下的应力-应变关系，并在推导平衡方程时起到关键作用

Nanson 公式

Nanson 公式描述了连续介质变形过程中参考构型（未变形状态）与当前构型（变形后状态）之间面积元素的转换关系

\[ \mathbf{n}\ \mathrm{d}a = JF^{-T}\mathbf{N}\ \mathrm{d}A, \]

其中，\(\mathbf{n}\ \mathrm{d}a\) 和 \(\mathbf{N}\ \mathrm{d}A\) 分别是当前构型和初始构型的面积向量，\(\mathbf{n}\) 和 \(\mathbf{N}\) 为相应的法向量

证明

在参考构型中，取两个微小线元，\(\mathrm{d}\mathbf{X}_{1}\) 和 \(\mathrm{d}\mathbf{X}_{2}\)，于是

\[ \mathbf{N}\ \mathrm{d}A = \mathrm{d}\mathbf{X}_{1}\times\mathrm{d}\mathbf{X}_{2}, \]

在当前构型中，有 \(\mathrm{d}\mathbf{x}_{i} = F\mathrm{d}\mathbf{X}_{i}\)，于是

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{n}\ \mathrm{d}a = \mathrm{d}\mathbf{x}_{1}\times\mathrm{d}\mathbf{x}_{2} &= (F\mathrm{d}\mathbf{X}_{1})\times(F\mathrm{d}\mathbf{X}_{2})\\ &=\det(F)F^{-T}(\mathrm{d}\mathbf{X}_{1}\times\mathrm{d}\mathbf{X}_{2})\\ &=JF^{-T}\mathbf{N}\ \mathrm{d}A, \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

证明： \((F\mathbf{b})\times(F\mathbf{c})=\det(F)F^{-T}(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\)

若 \(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\) 线性无关且可逆，则

\[ \frac{F\mathbf{a}\cdot(F\mathbf{b}\times F\mathbf{c})}{\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})}= \frac{\det\left(\begin{bmatrix} F\mathbf{a}&F\mathbf{b}&F\mathbf{c} \end{bmatrix}\right)}{ \det\left(\begin{bmatrix} \mathbf{a}&\mathbf{b}&\mathbf{c} \end{bmatrix}\right) } = \det(F), \]

分别取 \(\mathbf{a} = \mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}\) 代入，得到结论

第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量

根据 Nanson 公式，有

\[ \mathrm{d}\mathbf{f} = \boldsymbol{\sigma}\mathbf{n}\ \mathrm{d}a = \boldsymbol{\sigma}JF^{-T}\mathbf{N}\ \mathrm{d}A = \mathbf{P}\mathbf{N}\ \mathrm{d}A, \]

其中

(25)\[ \mathbf{P}=J\boldsymbol{\sigma}F^{-T} \]

定义为第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量（也称名义应力张量），简记为 PK1 应力张量

Cauchy 应力描述的是当前力在当前面积下的分布，表示当前构型下单位面积上所受的当前构型下的力

PK1 应力描述的则是当前力在参考面积上的分布，表示参考构型下单位面积上所受的当前构型下的力

PK1 应力张量一般是非对称张量，因为它涉及到与变形梯度 \(F\) 的混合

此外，由于

\[ \mathbf{P}\mathbf{N} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{f}}{\mathrm{d} A}, \]

因此，第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量可以看作是一维工程应力（初始面积上的力）在三维情况下的自然推广

内功率

根据式 (25)，有

\[ \boldsymbol{\sigma}=J^{-1}\mathbf{P}F^{T}, \]

于是

\[ \boldsymbol{\sigma}:\mathbf{D} = \boldsymbol{\sigma}:\mathbf{L} = J^{-1}\text{tr}(\mathbf{P}F^{T}\mathbf{L}^{T}), \]

代入 \(\mathbf{L} = \dot{F}F^{-1}\)，得到

\[ \boldsymbol{\sigma}:\mathbf{D} = J^{-1}\text{tr}(\mathbf{P}F^{T}\mathbf{L}^{T}) = J^{-1}\text{tr}(\mathbf{P}\dot{F}^{T}) = J^{-1}\mathbf{P}:\dot{F}, \]

于是

\[ P_{\text{int}} = \int_{V}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{D}\ \mathrm{d}V = \int_{V_{0}}\mathbf{P}:\dot{F}\ \mathrm{d}V_{0}. \]

边界条件

由于 PK1 应力张量的定义是基于参考构型的面积和当前力，采用 PK1 应力后，可以直接在初始构型上施加和计算边界条件，无需在整个分析过程中追踪当前构型的边界和应力状态，大大简化了大变形问题中的边界条件处理