显式动力学#
在动力学分析中，UL 方法因其在处理接触、摩擦等边界非线性问题上的天然优势而被广泛采用使用 UL 方法结合 Newmark 方法进行求解，其中
\[
\beta = 0,\quad \gamma=0.5,
\]
相较于小位移小变形弹塑性问题，需在求解过程中需要做出以下重要改动
位置更新#
采用显式 Newmark 方法时，在每个时间步开始，基于已知的位移、速度和加速度直接预测新构型的节点位置。由于该方法为显式格式，无需迭代修正，预测的构型即为接受的新构型。随后的内力计算、应变应力更新等均在这一新构型上进行。在 UL 框架下，这意味着积分域随每个时间步更新，计算始终在当前时刻的构型上进行
使用客观应力率和几何非线性#
在 UL 框架的率形式本构关系中，使用变形率张量
\[
\mathbf{D} = \frac{1}{2}(\mathbf{L} + \mathbf{L}^T)
\]
作为应变率度量。由于速度梯度
\[
\mathbf{L} = \nabla \mathbf{v} = \dot{\mathbf{F}}\mathbf{F}^{-1}
\]
是对当前构型求导，几何非线性自然融入在 \(\mathbf{D}\) 的定义中。这使得率形式本构关系（如 \(\overset{\circ}{\boldsymbol{\sigma}} = \mathbb{C} : \mathbf{D}\)）能够在大变形分析中保持客观性，同时避免显式使用非线性应变度量
Jaumann 应力率#
对于 Jaumann 应力率，有
\[
\overset{\circ}{\boldsymbol{\sigma}} = \dot{\boldsymbol{\sigma}} + \boldsymbol{\sigma} \mathbf{W} - \mathbf{W} \boldsymbol{\sigma}，
\]
由于
\[
\overset{\circ}{\boldsymbol{\sigma}} = \mathbb{C} : \mathbf{D},
\]
于是
\[
\mathbb{C} : \mathbf{D}_{n+1} = \frac{\boldsymbol{\sigma}_{n+1}^{\text{trial}} - \boldsymbol{\sigma}_{n}}{\Delta t} + \boldsymbol{\sigma}_{n} \mathbf{W}_{n+1} - \mathbf{W}_{n+1} \boldsymbol{\sigma}_{n}
\]
得到
\[
\boldsymbol{\sigma}_{n+1}^{\text{trial}}= \boldsymbol{\sigma}_{n} + \left(\mathbb{C} : \mathbf{D}_{n+1} + \mathbf{W}_{n+1} \boldsymbol{\sigma}_{n} - \boldsymbol{\sigma}_{n} \mathbf{W}_{n+1} \right)\Delta t
\]
若
\[
f^{\text{trial}}_{n+1}=\frac{3}{2}\left\|\mathbf{s}_{n+1}^{\text{trial}}\right\| - (\sigma_{0} + H\bar{\varepsilon}_n^p) > 0
\]
则进行塑性修正
\[
\bar{\varepsilon}_{n+1}^p=\bar{\varepsilon}_n^p + \frac{f^{\text{trial}}_{n+1}}{3\mu+H},
\]
且
\[
\boldsymbol{\sigma}_{n+1} = \boldsymbol{\sigma}_{n+1}^{\text{trial}}-2*\mu*\frac{f^{\text{trial}}_{n+1}}{3\mu+H}*\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{\mathbf{s}_{n+1}^{\text{trial}}}{\left\|\mathbf{s}_{n+1}^{\text{trial}}\right\|},
\]
Truesdell 应力率#
类似地，在 Truesdell 应力率中
\[
\boldsymbol{\sigma}_{n+1}^{\text{trial}}= \boldsymbol{\sigma}_{n} + \left(\mathbb{C} : \mathbf{D}_{n+1} - \mathbf{L}_{n+1} \boldsymbol{\sigma}_{n} - \boldsymbol{\sigma}_{n} \mathbf{L}_{n+1} \right)\Delta t,
\]
其余步骤与 Jaumann 应力率类似