格林应变张量

格林应变张量#

格林应变张量（Green-Lagrange strain tensor）能够准确反映材料在大变形过程中的几何非线性特征，因此被广泛应用于非线性弹性力学、结构力学以及材料科学等领域

单轴应变度量#

如何度量应变？

假设一根初始长度为 \(L_{0}\) 的杆均匀伸长或缩短至长度 \(L\)，对于这种变形，存在多种不同的应变度量方式

工程应变#

工程应变（又称名义应变）是基于物体原始尺寸的小变形线性近似

\[ \varepsilon_{eng} = \frac{L-L_{0}}{L_{0}}. \]

  • 计算简便

  • 忽略了变形过程中几何形状的实时变化

  • 忽略了几何非线性，无法准确描述大变形中的非线性效应，仅适用于小变形（通常应变 < 5%，弹性阶段）

真实应变#

真实应变（自然应变）基于瞬时尺寸的累积变形，每一步应变增量均相对于当前长度计算，适用于连续变形过程，采用对数形式描述大变形

\[ \varepsilon_{true} = \int_{L_{0}}^{L}\frac{\mathrm{d}l}{l} = \ln\frac{L}{L_{0}}. \]

  • 具有可加性（同向变形），多个应变阶段的真实应变可直接相加

  • 考虑了变形路径的影响，更符合物理实际

  • 部分考虑了几何非线性

格林应变#

格林应变（Green-Lagrange应变）属于有限应变理论，基于变形前后长度的平方变化，是二阶张量形式，其一维形式如下

\[ \varepsilon_{Green} = \frac{1}{2}((\frac{L}{L_{0}})^2-1). \]

  • 包含位移梯度的线性项和二次项，完全考虑了几何非线性，适用于连续介质力学和有限元分析中的大变形问题

  • 保持客观性（在刚体运动下不变），适合本构模型

  • 格林应变在小变形极限下会退化为工程应变（线性应变张量）

格林应变张量#

格林应变张量是连续介质力学中描述有限变形（即大变形）的重要工具之一。它在非线性弹性、超弹性材料本构模型以及有限元分析等领域具有重要地位。格林应变张量采用以初始构型为参考的拉格朗日描述，因此又被称为格林-拉格朗日应变张量

定义#

格林应变张量基于变形前后长度的平方变化，通过对比变形前后任意两点间距离的差异来定义应变。参考构型中两点 \(\mathbf{X}\) 和 \(\mathbf{X}+\mathrm{d}\mathbf{X}\) 的距离平方为

\[ \mathrm{d}S^2 = \mathrm{d}\mathbf{X}\cdot\mathrm{d}\mathbf{X}, \]

变形后变为 \(\mathbf{x}(\mathbf{X})\) 和 \(\mathbf{x}(\mathbf{X}+\mathrm{d}\mathbf{X})\)

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{d}s^2 &= \left|\mathbf{x}(\mathbf{X}+\mathrm{d}\mathbf{X}) - \mathbf{x}(\mathbf{X})\right|^2 \\ &\approx (\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}}\mathrm{d}\mathbf{X})\cdot(\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}}\mathrm{d}\mathbf{X}) \\ &= \mathrm{d}\mathbf{X}^{T}F^{T}F\mathrm{d}\mathbf{X} \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

于是

\[ \mathrm{d}s^2 - \mathrm{d}S^2 = \mathrm{d}\mathbf{X}^{T}(F^{T}F-I)\mathrm{d}\mathbf{X} = 2\ \mathrm{d}\mathbf{X}^{T}E\mathrm{d}\mathbf{X}, \]

定义格林应变张量为

\[ \mathbf{E} = \frac{1}{2}(F^{T}F-I), \]

代入 \(F = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} + I\)，得到

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{E} &= \frac{1}{2}((\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} + I)^{T}(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} + I) - I)\\ & = \frac{1}{2}((\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}})^{T} + (\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}}) + (\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}})^{T}(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}})), \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

于是

\[ E_{ij} = \frac{1}{2}(\frac{\partial u_{i}}{\partial X_{j}} +\frac{\partial u_{j}}{\partial X_{i}} + \frac{\partial u_{k}}{\partial X_{i}}\frac{\partial u_{k}}{\partial X_{j}}), \]

  • \(\frac{\partial u_{i}}{\partial X_{j}} +\frac{\partial u_{j}}{\partial X_{i}}\)：对应线性应变部分（与小变形理论中一致）

  • \(\frac{\partial u_{k}}{\partial X_{i}}\frac{\partial u_{k}}{\partial X_{j}}\)：非线性项，由有限应变引起，在小变形下可忽略

性质#

对称性#

\[ \mathbf{E} ^{T} = \mathbf{E} . \]

客观性#

格林应变张量的客观性指其在刚体运动（平移、旋转）下保持不变，即仅反映材料的真实变形

将整个过程分解为纯变形和刚体运动（\(\mathbf{x}\) 为纯变形后的位置）

\[ \mathbf{x}' = Q\mathbf{x}+\mathbf{c}, \]

其中，\(Q\) 是常正交矩阵，\(\mathbf{c}\) 是常向量，于是

\[ F' = \frac{\partial \mathbf{x}'}{\partial \mathbf{X}} = Q\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}} = QF, \]

于是

\[ \mathbf{E} ' = \frac{1}{2}((F')^{T}F' - I) = \frac{1}{2}(F^{T}Q^{T}QF - I) = \frac{1}{2}(F^{T}F - I) = \mathbf{E} . \]

这也可以通过矩阵的极分解得出，任意矩阵都可以分解为正交矩阵（表示刚体运动）\(R\) 和对称半正定矩阵（表示形状变化）\(U\) 的乘积

\[ F = RU, \]

于是

\[ \mathbf{E} = \frac{1}{2}(U^{T}R^{T}RU - I) = \frac{1}{2}(U^{T}U - I), \]

这意味着在 \(\mathbf{E} \) 中，刚体运动被消除了

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