内功和应变能#
对于力学系统，能量守恒定律的完整表达式为
外功 = 动能变化 + 内能变化 + 热能损失
内功（内能变化） = 应变能变化（弹性部分） + 耗散能（塑性部分）
外功是外界输入到系统的总能量，内功是外功中转化为系统内部能量的部分
内功#
表面力对材料做功的总功率为
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{aligned}
P &= \int_{\partial V}\mathbf{v}\cdot(\boldsymbol{\sigma}\ \mathrm{d}\mathbf{S})
= \int_{\partial V}\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\sigma}\mathbf{n}\ \mathrm{d}S\\
&= \int_{\partial V}\boldsymbol{\sigma}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\ \mathrm{d}S
= \int_{V}\nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\mathbf{v})\ \mathrm{d}V\\
&=\int_{V}\boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{v}\ \mathrm{d}V + \int_{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma})\cdot\mathbf{v}\ \mathrm{d}V,
\end{aligned}
\end{equation}
\end{split}\]
第一项称为内功率（或应力功率密度）\(P_{\text{int}}\)，表示单位时间内，材料内部应力对变形所做的功，反映了由于变形引起的能量变化速率
第二项则表达了惯性效应和体积力对整体运动的功率贡献（结合动量守恒方程）
由于
\[
\nabla\mathbf{v} = \mathbf{D} + \mathbf{W},
\]
于是
\[
\int_{V}\boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{v}\ \mathrm{d}V = \int_{V}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{D} + \boldsymbol{\sigma}:\mathbf{W}\ \mathrm{d}V = \int_{V}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{D}\ \mathrm{d}V,
\]
由于 \(\boldsymbol{\sigma}\) 对称，\(\mathbf{W}\) 反对称，故
\[
P_{\text{int}} = \int_{V}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{D}\ \mathrm{d}V,
\]
内力对材料内部变形所做的总功为内功
\[
W_{\text{int}} = \int_{0}^{t}P_{\text{int}}\ \mathrm{d}t.
\]
应变能#
应变能 \(U\) 是材料在弹性变形过程中，由于抵抗外力做功而储存在其内部的能量。当外力卸载时，这部分能量能够完全释放，使材料恢复到原始形状
应变能仅指材料在弹性变形过程中储存的能量，在非弹性变形（如塑性变形）过程中，外部做功不再全部以应变能形式储存
因此，应变能是依赖于变形状态的一种势能
\[
U(\boldsymbol{\varepsilon}) = \int_{V}\Psi(\boldsymbol{\varepsilon})\ \mathrm{d}V,
\]
\(\Psi\) 是应变能密度函数，表示材料在弹性变形过程中单位参考体积储存的能量，仅依赖于变形状态。应变能密度是在变形过程中逐步累积的，故
\[
\Psi(\boldsymbol{\varepsilon}) = \int_{0}^{\varepsilon_{ij}}\sigma_{ij}\ \mathrm{d}\varepsilon_{ij},
\]
有
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}} = \boldsymbol{\sigma}\quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}}:\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}}{\partial t} = \boldsymbol{\sigma}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}},
\]
Note
对于线弹性材料，代入 \(\sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl}\)，得到
\[
\Psi(\boldsymbol{\varepsilon}) = \frac{1}{2}\sigma_{ij}\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\varepsilon}.
\]
应变能可以写为
\[
U(\boldsymbol{\varepsilon}) = \int_{V}\int_{0}^{\varepsilon_{ij}}\sigma_{ij}\ \mathrm{d}\varepsilon_{ij}\ \mathrm{d}V,
\]
应变能率为
\[
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{U}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{V}\Psi\ \mathrm{d}V.
\end{aligned}
\end{equation}
\]
若积分体区域 \(V\) 不随时间变化，则
\[
\dot{U}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \int_{V}\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}\ \mathrm{d}V= \int_{V}\frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}}:\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}}{\partial t}\ \mathrm{d}V = \int_{V}\boldsymbol{\sigma}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}\ \mathrm{d}V.
\]