运动硬化模型（Kinematic Hardening）
Kinematic Hardening 描述的是材料在经历塑性变形后，屈服面整体在应力空间中移动，而形状和尺寸均保持不变
为了解释 Bauschinger 效应和各向异性硬化，从而更好地描述材料在循环载荷下的反应，Melan 和 Prager 引入了运动硬化简单模型
根据该模型，在塑性变形过程中，初始屈服曲面的大小和形状不会改变，而是在应力空间中平移。如果屈服准则与压力无关，则可以假定
\[
f(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha},K_{0}) = 0,\quad K_{0}=\text{const}.,
\]
其中
\(\boldsymbol{\alpha}\)：表示屈服面（在应力空间中）的中心，反映了材料内部因历史塑性变形而产生的一种“反作用”，因此也被称为背应力
\(f\)：关于应力差 \(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha}\) 的各向同性函数
\(K_{0}\)：代表屈服面的大小，反映了材料的屈服强度
此时，持续塑性变形的一致性条件为
\[
\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} : \left(\overset{\nabla}{\boldsymbol{\tau}} - \overset{\nabla}{\boldsymbol{\alpha}} \right) = 0,
\]
假定屈服面瞬时移动，则背应力的演化方程为
(93)\[
\overset{\nabla}{\boldsymbol{\alpha}} = c(\alpha, \vartheta)\, \mathbf{D}^{\text{p}} + \mathbf{C}(\alpha, \vartheta)\, (\mathbf{D}^{\text{p}} : \mathbf{D}^{\text{p}})^{1/2},
\]
上式关于塑性变形速率 \(\mathbf{D}\) 是一阶齐次的，因此符合塑性变形的速率无关假设，即材料的塑性响应只依赖于应变路径，与加载的快慢（速率）无关（所有状态变量的演化只是速度改变，路径不变）
此时，硬化参数为
\[
H = c \left( \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} : \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} \right)
+ \left( \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} : \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} \right)^{1/2}
\left( \mathbf{C} : \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} \right).
\]
如果屈服函数为
(94)\[
f = \frac{1}{2}(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha}):(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha}) - k_{0}^{2} = 0,
\]
此时
\[
\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} = \mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha},
\]
加载速率为
\[
\dot{\gamma} = \frac{1}{H} \left( \mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha} \right): \overset{\nabla}{\boldsymbol{\tau}},
\]
其中
\[
H = 2ck_{0}^{2} + \sqrt{2}k_{0}\mathbf{C}:(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha}).
\]
Prager 线性运动硬化模型
取 \(\mathbf{C} = 0\)，\(c = 2h_{\text{t}}^{\text{p}}\)，则式(93)为 Prager 线性运动硬化模型，根据式(90) 和(94)，对应的弹塑性本构方程为
\[
\mathbf{D} = \left[ \mathbf{M}^{e} + \frac{1}{2 h_{\text{t}}^{\text{p}}}
\frac{(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha})\otimes(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha})}
{(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha}) : (\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha})} \right] : \nabla \boldsymbol{\tau},
\]
在塑性加载阶段，满足
\[
\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} : \overset{\nabla}{\boldsymbol{\tau}} = (\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha}) : \overset{\nabla}{\boldsymbol{\tau}} > 0.
\]
其逆形式为
\[
\overset{\nabla}{\boldsymbol{\tau}} = \left( \boldsymbol{\Lambda}^{\text{e}} - \frac{2\mu}{1 + h_{\text{t}}^{\text{p}}/\mu} \frac{(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha})\otimes(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha})}
{(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha}) : (\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha})} \right) : \mathbf{D},
\]
类似地
\[
(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha}) : \mathbf{D} > 0.
\]
若 \(\boldsymbol{\alpha}\) 是偏张量，即 \(\text{tr}(\boldsymbol{\alpha}) = 0\)，则可与上一节中类似证明
\[
\begin{equation}
\begin{aligned}
(\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha}):\overset{\nabla}{\boldsymbol{\tau}} =\frac{2h_{\text{t}}^{\text{p}}}{1+h_{\text{t}}^{\text{p}}/\mu}\ (\mathbf{s} - \boldsymbol{\alpha}):\mathbf{D}.
\end{aligned}
\end{equation}
\]
Armstrong-Frederick 非线性运动硬化模型
取 \(c = 2h,\mathbf{C} = -c_{0}\boldsymbol{\alpha}\)，其中，\(h,c_{0}\) 是常材料参数，此时
\[
\overset{\nabla}{\boldsymbol{\alpha}} = 2h\, \mathbf{D}^{\text{p}} -c_{0}\boldsymbol{\alpha}\, (\mathbf{D}^{\text{p}} : \mathbf{D}^{\text{p}})^{1/2},
\]
非线性项（此处也称记忆项）的引入，使得反向塑性加载下的硬化模量与实验数据更加吻合。此时
\[
\mathbf{D}^{\text{p}} = \frac{1}{2h(1-m)}\frac{(\mathbf{s}-\boldsymbol{\alpha}):\overset{\nabla}{\boldsymbol{\tau}}}{(\mathbf{s}-\boldsymbol{\alpha}):(\mathbf{s}-\boldsymbol{\alpha})}\ (\mathbf{s}-\boldsymbol{\alpha}),
\]
其中
\[
m = \frac{c_{0}}{2h}\frac{(\mathbf{s}-\boldsymbol{\alpha}):\boldsymbol{\alpha}}{\left[(\mathbf{s}-\boldsymbol{\alpha}):(\mathbf{s}-\boldsymbol{\alpha})\right]^{1/2}}.
\]
