Gaussian 公式

Gaussian 公式#

低阶数值积分方法本质上是用低阶多项式在各小区间内对被积函数进行分片插值，从而近似积分；而高斯积分则通过精心选择节点和权重，实现了对更高次数多项式的精确积分，在实际应用中淡化了插值多项式的具体构造过程。实际应用中，高斯积分既可在全区间使用，也可像其他方法一样分段应用（即复合高斯积分）

在高斯求积公式中，积分节点被视为自由度，通过同时优化节点位置和权重，实现更高的逼近精度

高斯积分公式的核心思想是利用正交多项式的根作为积分节点，并计算对应的权重，从而实现最高代数精度

正交多项式#

正交多项式，在物理学、数值分析、积分计算和量子力学中有广泛的应用

Legendre 多项式#

定义方式#

Legendre 多项式通常有两类定义方法，考虑区间 \([-1,1]\)

  • Rodrigues 公式： 通过 Rodrigues 公式定义

\[ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left( (x^2 - 1)^n \right) \]

  • 递推公式： 通过递推关系生成

\[ (n + 1)\,P_{n+1}(x) = (2n + 1)\,xP_n(x) - n\,P_{n-1}(x) \]

初始函数为：\(P_{0}(x) = 1,\, P_{1}(x)=x\).

Legendre 多项式的根分布在区间 \((-1,1)\) 内且互异

正交性#

Legendre 多项式 \(P_{n}(x)\) 满足

\[ \begin{equation} \int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \, dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}. \end{equation} \]

积分权重#

权重 \(w_{i}\) 需满足对任意次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式 \(f(x)\)，积分精确成立。利用多项式插值理论，权重可通过积分 Lagrange 基函数 \(L_{i}(x)\) 得到

\[\begin{split} \begin{equation} w_{i}=\int_{-1}^{1}L_{i}(x)\, \mathrm{d}x,\quad \text{其中} \quad L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n-1} \frac{x - x_j}{x_i - x_j},\quad i=1,2,...,n \end{equation} \end{split}\]

其显式公式为

\[ w_i = \frac{2}{(1 - x_i^2)[P_n'(x_i)]^2}. \]

示例#

\(P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)\)，积分节点为 \(x_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)，积分权重为 \(w_1 = w_2 = 1\)，对应的积分公式为

\[ \int_{-1}^1 f(x) \, dx \approx f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right). \]

第一类 Chebyshev 多项式#

定义方式#

  • 三角函数：

\[ \begin{equation} T_{n}(x) = \cos(n\arccos(x)),\quad x\in[-1,1] \end{equation} \]

  • 递推关系

\[ \begin{equation} T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x),\quad n\geq1 \end{equation} \]

初始函数为：\(T_{0}(x) = 1,\, T_{1}(x)=x\).

第一类 Chebyshev 多项式的根（Chebyshev 节点）：

\[ x_{i}=\cos(\frac{2i-1}{2n}\pi),\, i=1,2,...,n \]

正交性#

第一类 Chebyshev 多项式在权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) 下正交

\[\begin{split} \int_{-1}^1 \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \begin{cases} 0, & m \neq n, \\ \pi, & m = n = 0, \\ \frac{\pi}{2}, & m = n \neq 0. \end{cases} \end{split}\]

积分权重#

\[ w_{i} = \frac{\pi}{n} \]

示例#

\(T_{2}(x) = 2x^2-1\)，积分节点为 \(x_{1,2} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)，积分权重为 \(w_{1}=w_{2}=\frac{\pi}{2}\)，于是积分公式为

\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{2} \left( f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right), \]

将 \(\sqrt{1-x^2}\) 移至右侧，得到

\[ \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \approx \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \left( f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right). \]

第二类 Chebyshev 多项式#

定义方式#

  • 三角函数：

\[ \begin{equation} U_{n}(x) = \frac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sqrt{1-x^2}},\quad x\in[-1,1] \end{equation} \]

  • 递推关系

\[ \begin{equation} U_{n+1}(x)=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x),\quad n\geq1 \end{equation} \]

初始函数为：\(U_{0}(x) = 1,\, U_{1}(x)=2x\).

第二类 Chebyshev 多项式的根（Chebyshev 节点）：

\[ x_{i}=\cos(\frac{i}{n+1}\pi),\, i=1,2,...,n \]

正交性#

第二类 Chebyshev 多项式在权函数 \(w(x) = \sqrt{1-x^2}\) 下正交

\[\begin{split} \int_{-1}^1 U_m(x) U_n(x)\sqrt{1 - x^2} \, dx = \begin{cases} 0, & m \neq n, \\ \frac{\pi}{2}, & m = n = 0. \end{cases} \end{split}\]

积分权重#

\[ w_{i} = \frac{\pi}{n+1}\sin^2(\frac{i}{n+1}\pi) \]

示例#

\(U_{2}(x) = 4x^2 - 1\)，积分节点为 \(x_{1,2}=\pm\frac{1}{2}\)，积分权重为 \(w_{1,2}=\frac{\pi}{4}\)，于是

\[ \int_{-1}^{1} f(x)\sqrt{1 - x^2} \, dx \approx \frac{\pi}{4} \left( f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(-\frac{1}{2}\right) \right), \]

将 \(\sqrt{1-x^2}\) 移至右侧，得到

\[ \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \approx \frac{\sqrt{3}\pi}{6} \left( f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(-\frac{1}{2}\right) \right). \]

代数精度#

精确成立（ \(\leq 2n-1\) ）#

设 \(f(x)\) 是次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式，根据多项式除法余数定理，将 \(f(x)\) 分解为

\[ f(x) = Q(x)\cdot P_{n}(x)+R(x), \]

其中 \(P_{n}(x)\) 是 \(n\) 次正交多项式，\(Q(x)\) 和 \(R(x)\) 是次数 \(\leq n-1\) 的多项式

于是

\[ \int_{a}^{b}w(x)f(x)\, \mathrm{d}x=\int_{a}^{b}w(x)Q(x)P_n(x)\, \mathrm{d}x + \int_{a}^{b}w(x)R(x)\, \mathrm{d}x. \]

由于 \(P_{n}(x)\) 与所有次数 \(<n\) 的多项式正交（一般多项式可以表示为正交多项式的线性组合），因此

\[ \int_{a}^{b}w(x)Q(x)P_n(x)\, \mathrm{d}x = 0, \]

于是积分简化为

\[ \int_{a}^{b}w(x)f(x)\, \mathrm{d}x=\int_{a}^{b}w(x)R(x)\, \mathrm{d}x. \]

另一方面，根据高斯积分公式

\[ \sum_{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})=\sum_{i}^{n}w_{i}[Q(x_{i})P_{n}(x_{i})+R(x_{i})], \]

由于节点 \(\left\{x_{i}\right\}\) 是 \(P_{n}(x)\) 的根，即 \(P_{n}(x_{i})=0\)，因此

\[ \sum_{i}^{n}w_{i}Q(x_{i})P_{n}(x_{i}) = 0, \]

故求和式简化为

\[ \sum_{i}^{n}w_{i}R(x_{i}). \]

接下来，只需选取 \(\left\{w_{i}\right\}\) 使得

\[ \int_{a}^{b}w(x)R(x)\, \mathrm{d}x = \sum_{i}^{n}w_{i}R(x_{i}) \]

精确成立即可，其中 \(R(x)\) 是次数 \(\leq n-1\) 的多项式，这只需使得上式对于 \(R(x)=1,x,\cdots,x^{n-1}\) 精确成立即可，这将得到一个线性方程组，显然该方程组存在解

因此

\[ \int_{a}^{b}w(x)f(x)\, \mathrm{d}x=\sum_{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}) \]

对于次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式精确成立

非精确成立（ \(= 2n\) ）#

取 \(f(x) = P_{n}^2(x)\) ，其中 \(P_{n}(x)\) 是 \(n\) 次正交多项式，于是

\[ \int_{a}^{b}w(x)P_{n}^2(x)\,\mathrm{d}x > 0, \]

而

\[ \sum_{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}) = \sum_{i=1}^{n}w_{i}P_{n}^2(x_{i}) = 0, \]

因此积分公式对于 \(f(x) = P_{n}^2(x)\) 不精确成立

综上，高斯积分公式代数精度是 \(2n-1\)

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