正交变换

在固体力学中，正交变换是分析材料对称性、坐标系变换以及张量客观性的重要工具。正交变换通常由正交矩阵表示，用于描述坐标系的旋转，在应力、应变和本构关系的分析中尤为重要

基本定义

此处仅考虑实空间

正交变换是指在实内积空间（如欧几里得空间）中，保持向量内积不变的线性变换。若线性变换 \(\mathcal{Q}:V\rightarrow V\) 满足：

\[ (\mathcal{Q}\mathbf{u},\mathcal{Q}\mathbf{v}) = (\mathbf{u},\mathbf{v}) \]

则称 \(\mathcal{Q}\) 为正交变换

等价定义一

保持向量长度：\(\|\mathcal{Q}\mathbf{v}\|=\|\mathbf{v}\|\) 对所有 \(\mathbf{v}\in V \) 成立

\(0\Rightarrow1\)：

\[ (\mathcal{Q}\mathbf{u},\mathcal{Q}\mathbf{v}) = (\mathbf{u},\mathbf{v}) \Rightarrow (\mathcal{Q}\mathbf{v},\mathcal{Q}\mathbf{v}) = (\mathbf{v},\mathbf{v}) \Rightarrow \|\mathcal{Q}\mathbf{v}\|=\|\mathbf{v}\| \]

\(1\Rightarrow0\)：

\[ (\mathcal{Q}(\mathbf{u}-\mathbf{v}),\mathcal{Q}(\mathbf{u}-\mathbf{v})) = ((\mathbf{u}-\mathbf{v}),(\mathbf{u}-\mathbf{v})) \Rightarrow (\mathcal{Q}\mathbf{u},\mathcal{Q}\mathbf{v}) = (\mathbf{u},\mathbf{v}) \]

等价定义二

在标准正交基下，对应的矩阵是正交矩阵 \(Q\)，满足 \(Q^{T}Q=I\)

\(0\Rightarrow2\)：

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} (\mathcal{Q}\mathbf{u},\mathcal{Q}\mathbf{v}) = (\mathbf{u},\mathbf{v}) &\Rightarrow (\mathcal{Q}\mathbf{e}_{i},\mathcal{Q}\mathbf{e}_{j}) = (\mathbf{e}_{i},\mathbf{e}_{j}) \\ &\Rightarrow \mathbf{e}_{i}^{T}Q^{T}Q\mathbf{e}_{j}=\delta_{ij} \\ &\Rightarrow Q^{T}Q = I \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

\(2\Rightarrow0\)：

\[ Q^{T}Q = I \Rightarrow (\mathcal{Q}\mathbf{u},\mathcal{Q}\mathbf{v}) =\mathbf{u}^{T}Q^{T}Q\mathbf{v} = \mathbf{u}^{T}\mathbf{v} = (\mathbf{u},\mathbf{v}) \]

正交变换的性质

在正交变换具有以下核心性质：

计算实正交矩阵的特征值时应扩展到复空间，其中，\(^{\dagger}\) 为共轭转置，设 \(\mathbf{u}\) 和 \(\lambda\) 满足 \(Q\mathbf{u} = \lambda\mathbf{u}\)

• 保持向量的长度不变：\(\|Q\mathbf{v}\|=\|\mathbf{v}\|\)

• 保持向量间夹角不变：\((Q\mathbf{u},Q\mathbf{v}) = (\mathbf{u},\mathbf{v})\)

• \(\det(Q)=\pm1\)：\(\det(Q)=1\) 时为旋转变换；\(\det(Q)=-1\) 时为反射变换

• 特征值 \(|\lambda| = 1\)：\(\mathbf{u}^{T}\mathbf{u} = \mathbf{u}^{\dagger}Q^{\dagger}Q\mathbf{u}=|\lambda|^2\mathbf{u}^{T}\mathbf{u}\)

• \(Q^{-1} = Q^{T}\)

• \(Q\) 的行/列向量，形成一组标准正交基：\(Q^{T}Q = I\)

• \(Q_{1}, Q_{2}\) 为正交矩阵，则 \(Q_{1}Q_{2}\) 也是正交矩阵：\((Q_{1}Q_{2})^{T}Q_{1}Q_{2} = Q_{2}^{T}Q_{1}^{T}Q_{1}Q_{2} = I\)

相似变换

相似变换是同一线性变换在不同基下的矩阵表示之间的转换关系

基本定义

给定线性变换

\[ \mathcal{T}: V\rightarrow V, \]

设其在基 \(\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\cdots,\mathbf{v}_{n}\}\) 的矩阵表示为 \(A\)，在基 \(\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2},\cdots,\mathbf{w}_{n}\}\) 下的矩阵表示为 \(B\)，且两组基之间的转换矩阵为 \(P\)，即

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{w}_{1}&\mathbf{w}_{2}&\cdots&\mathbf{w}_{n} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1}&\mathbf{v}_{2}&\cdots&\mathbf{v}_{n} \end{bmatrix}P, \]

于是，向量 \(\mathbf{x}\) 在基 \(\{\mathbf{v}_{i}\}\) 下的坐标 \(\mathbf{x}^{v}=[x^{v}_{1},x^{v}_{2},\cdots,x^{v}_{n}]^{T}\) 与在基 \(\{\mathbf{w}_{i}\}\) 下的坐标 \(\mathbf{x}^{w}=[x^{w}_{1},x^{w}_{2},\cdots,x^{w}_{n}]^{T}\) 满足

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{x} &= \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1}&\mathbf{v}_{2}&\cdots&\mathbf{v}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^{v}_{1}\\x^{v}_{2}\\\vdots\\x^{v}_{n}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \mathbf{w}_{1}&\mathbf{w}_{2}&\cdots&\mathbf{w}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^{w}_{1}\\x^{w}_{2}\\\vdots\\x^{w}_{n}\end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1}&\mathbf{v}_{2}&\cdots&\mathbf{v}_{n} \end{bmatrix}P \begin{bmatrix} x^{w}_{1}\\x^{w}_{2}\\\vdots\\x^{w}_{n}\end{bmatrix}, \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

即

\[ \mathbf{x}^{v}=P\ \mathbf{x}^{w},\quad\text{或}\quad \mathbf{x}^{w}=P^{-1}\ \mathbf{x}^{v}, \]

因此

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{T}(\mathbf{x}) &= \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1}&\mathbf{v}_{2}&\cdots&\mathbf{v}_{n} \end{bmatrix}A\ \mathbf{x}^{v}\\ &=\begin{bmatrix} \mathbf{w}_{1}&\mathbf{w}_{2}&\cdots&\mathbf{w}_{n} \end{bmatrix}P^{-1}AP\ \mathbf{x}^{w}, \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

又因为

\[ \mathcal{T}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \mathbf{w}_{1}&\mathbf{w}_{2}&\cdots&\mathbf{w}_{n} \end{bmatrix}B\ \mathbf{x}^{w}, \]

故

\[ B = P^{-1}AP, \]

称矩阵 \(A\) 和矩阵 \(B\) 是相似的

相似变换的性质

保特征值

代数重数：代数重数是矩阵特征多项式的根的重数

\[ \det(\lambda I - B) = \det(\lambda I - P^{-1}AP) = \det(P^{-1}(\lambda I - A)P) = \det(\lambda I - A), \]

故特征根及其重数保持不变

几何重数：几何重数是特征值对应特征空间的维数，即 \(\dim(\ker(\lambda I-A))\)

这是自然的，因为线性变换 \(\ker(\lambda I-A)\) 和 \(\ker(\lambda I-B)\) 通过 可逆变换 \(P\) 和 \(P^{-1}\) 一一对应

保迹 \(\text{tr}(A)\)

\[\begin{split} \text{tr}(AB)&= \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{ki} \\ &= \sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}b_{ki}a_{ik}\\ &=\text{tr}(BA) \end{split}\]

\[ \text{tr}(B) = \text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(APP^{-1}) = \text{tr}(A). \]

保行列式 \(\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i\)

\[\begin{split} \det(AB)&=\det(E_{1}E_{2}\cdots E_{k}B)\\ &=\det(E_{1})\det(E_{2})\cdots \det(E_{k})\det(B)\\ &=\det(E_{1}E_{2}\cdots E_{k})\det(B)\\ &=\det(A)\det(B) \end{split}\]

\[ \det(B) = \det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1}) \det(A) \det(P) = \det(A), \]

或

\[ \det(A) = \det(A - \lambda I)|_{\lambda=0}=\prod_{i=1}^{n}(\lambda_{i}-\lambda)|_{\lambda=0}=\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}. \]

合同变换

基本定义

对实对称矩阵 \(A\)，其二次型为

\[ f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}, \]

设存在变量替换 \(\mathbf{x} = P\mathbf{y}\)（不同基下的坐标表示，见相似变换），则

\[ f(\mathbf{x}) = f(P\mathbf{y}) = \mathbf{y}^{T}P^{T}AP\mathbf{y} = \mathbf{y}^{T}B\mathbf{y}, \]

则称 \(A\) 与 \(B\) 为合同矩阵，这种变换称为‌合同变换。合同变换的重要目标是将二次型化为标准形（对角矩阵形式）

\[ f(\mathbf{y})=\lambda_{1}y_{1}^2+\lambda_{2}y_{2}^2+\cdots+\lambda_{n}y_{n}^2. \]

合同变换的性质

保对称性

\[ B^{T} = P^{T}A^{T}P = P^{T}AP = B. \]

Sylvester 惯性定理

对于任意实二次型 \( f(x) = x^T A x \) （\( A \) 为实对称矩阵），通过合同变换可唯一化简为以下标准形：

\[ f(y) = y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_{p+q}^2 \quad (p+q \leq n), \]

其中正惯性指数 \( p \)、负惯性指数 \( q \)、零惯性指数 \( r = n - p - q \) 唯一确定，仅依赖于原二次型矩阵 \( A \) 的性质

根据 Sylvester 惯性定理，可得到以下结论：

• 合同变换下，矩阵的正定性、半正定性保持不变‌

• 二次曲面（如椭球面、双曲面）的类型由正负惯性指数唯一确定‌

• 惯性指数与特征值的符号直接相关，合同变换不改变符号分布‌

正交变换

由于正交矩阵满足 \(Q^{T} = Q^{-1}\)，因此正交变换

\[ B = Q^{T}AQ = Q^{-1}AQ, \]

既是相似变换，也是合同变换（一般应用于对称矩阵）

正交变换的几何意义

由于正交变换保持向量的长度和向量间的夹角不变，这使得正交变换可以被视为刚体运动中的旋转和反射

二维空间

在二维空间中，正交矩阵具有两种形式

\[\begin{split} R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{bmatrix},\qquad M = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \\ \end{bmatrix} \end{split}\]

• \(R\) 表示旋转变换，旋转角度为 \(\theta\)

• \(M\) 表示反射变换，对称面为 \(y = \tan\frac{\theta}{2}x\)

三维空间

旋转变换

标准旋转矩阵：

\[\begin{split} R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix},\quad R_y = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix},\quad R_z = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{split}\]

Rodrigues 旋转矩阵：

设旋转轴为单位向量 \(\mathbf{u}=[u_{x},u_{y},u_{z}]\)，旋转角为 \(\theta\)，则旋转矩阵为

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} R(\mathbf{u}, \theta) &= \cos \theta \cdot I + \sin \theta \cdot [\mathbf{u}]_{\times} + (1 - \cos \theta) \cdot \mathbf{uu}^T\\ &=\begin{bmatrix} \cos \theta + u_x^2 (1 - \cos \theta) & u_x u_y (1 - \cos \theta) - u_z \sin \theta & u_x u_z (1 - \cos \theta) + u_y \sin \theta \\ u_y u_x (1 - \cos \theta) + u_z \sin \theta & \cos \theta + u_y^2 (1 - \cos \theta) & u_y u_z (1 - \cos \theta) - u_x \sin \theta \\ u_z u_x (1 - \cos \theta) - u_y \sin \theta & u_z u_y (1 - \cos \theta) + u_x \sin \theta & \cos \theta + u_z^2 (1 - \cos \theta) \end{bmatrix} \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

对于旋转轴不经过原点的情况，则需要通过平移-旋转-逆平移的复合变换实现

Rodrigues 公式证明

将任意向量 \(\mathbf{v}\) 进行分解

\[ \mathbf{v} = \mathbf{v}_{\scriptscriptstyle/\!/} + \mathbf{v}_{\perp}, \]

其中

• 平行于轴的分量：\(\mathbf{v}_{\scriptscriptstyle/\!/}=\mathbf{u}\ (\mathbf{v}\cdot\mathbf{u})=\mathbf{u}\ (\mathbf{u}^{T}\mathbf{v}) = (\mathbf{u}\mathbf{u}^{T})\mathbf{v}\)

• 垂直于轴的分量：\(\mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{v} - \mathbf{v}_{\scriptscriptstyle/\!/} = (I - \mathbf{u}\mathbf{u}^{T})\mathbf{v}\)

绕 \(u\) 旋转时（旋转是线性变换）

• 平行分量保持不变：\(\mathbf{v}_{\scriptscriptstyle/\!/}^{'} = \mathbf{v}_{\scriptscriptstyle/\!/}\)

• 垂直分量绕 \(\mathbf{u}\) 旋转 \(\theta\)：\(\mathbf{v}_{\perp}^{'}=\cos\theta\cdot\mathbf{v}_{\perp} + \sin\theta\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}_{\perp})\)

关于垂直分量：

\(\mathbf{v}_{\perp}\) 和 \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}_{\perp}\) 是垂直于 \(\mathbf{u}\) 的平面上的一组正交基，且满足

\[ \mathbf{v}_{\perp}^{'}\cdot\mathbf{v}_{\perp}=\cos\theta, \]

和

\[\mathbf{v}_{\perp}^{'}\cdot\mathbf{v}_{\perp}^{'}=\cos^{2}\theta\cdot\mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{v}_{\perp} + \sin^{2}\theta\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}_{\perp})\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}_{\perp})=\mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{v}_{\perp}.\]

于是，总旋转后的向量为

\[ \mathbf{v}^{'}=\mathbf{v}_{\scriptscriptstyle/\!/}^{'}+\mathbf{v}_{\perp}^{'}=(\mathbf{u}\mathbf{u}^{T})\mathbf{v}+\cos\theta(I - \mathbf{u}\mathbf{u}^{T})\mathbf{v}+\sin\theta\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}), \]

由于

\[\begin{split} \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 0 & -u_z & u_y \\ u_z & 0 & -u_x \\ -u_y & u_x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{x}\\v_{y}\\v_{z} \end{bmatrix} = [\mathbf{u}]_{\times}\ \mathbf{v}, \end{split}\]

因此

\[ \mathbf{v}^{'}=[\cos\theta\cdot I+(1-\cos\theta)\cdot\mathbf{u}\mathbf{u}^{T}+\sin\theta\cdot[\mathbf{u}]_{\times}]\mathbf{v}, \]

故

\[ R(\mathbf{u}, \theta) = \cos \theta \cdot I + (1 - \cos \theta) \cdot \mathbf{uu}^T + \sin \theta \cdot [\mathbf{u}]_{\times}. \]

反射变换

标准反射矩阵

\[\begin{split} M_{xy}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix},\quad M_{yz}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad M_{xz}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{split}\]

一般反射矩阵

关于单位法向量 \(\mathbf{n}=[n_{x}\ n_{y}\ n_{z}]^{T}\) 定义的（过原点的）平面的反射矩阵为

\[\begin{split} M=I-2\mathbf{n}\mathbf{n}^{T} = \begin{bmatrix} 1 - 2n_{x}^2 & -2n_{x}n_{y} & -2n_{x}n_{z} \\ -2n_{x}n_{y} & 1-2n_{y}^2 & -2n_{y}n_{z} \\ -2n_{x}n_{z} & 2n_{y}n_{z} & 1-2n_{z}^2\\ \end{bmatrix}, \end{split}\]

对于平面不经过原点的情况，则需要通过平移-反射-逆平移的复合变换实现

反射公式证明

将任意向量 \(\mathbf{v}\) 进行分解

\[ \mathbf{v} = \mathbf{v}_{\scriptscriptstyle/\!/} + \mathbf{v}_{\perp}, \]

其中

• 平行于平面的分量：\(\mathbf{v}_{\scriptscriptstyle/\!/}\)

• 垂直于平面的分量：\(\mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{n}\ (\mathbf{v}\cdot\ \mathbf{n})=(\mathbf{n}\mathbf{n}^{T})\mathbf{v}\)

反射操作不改变 \(\mathbf{v}_{\scriptscriptstyle/\!/}\)，并将 \(\mathbf{v}_{\perp}\) 反向，故反射后的向量为

\[ \mathbf{v}^{'}=\mathbf{v}_{\scriptscriptstyle/\!/}-\mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{v}-2\mathbf{n}\mathbf{n}^{T}\mathbf{v} = (I-2\mathbf{n}\mathbf{n}^{T})\mathbf{v}, \]

因此，反射矩阵为

\[ M = I-2\mathbf{n}\mathbf{n}^{T}. \]

实对称矩阵的对角化（谱分解）

对于实对称矩阵 \(A\)，存在正交矩阵 \(Q\) 和对角矩阵 \(\Lambda\)，使得

\[ Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = \Lambda. \]

矩阵 \(A\) 的特征值为实数

设 \(\lambda\in\mathbb{C}\) 为矩阵 \(A\) 的特征值，\(\mathbf{v}\in\mathbb{C}^{n}\) 为对应的特征向量，则

\[ A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \Rightarrow \mathbf{v}^{\dagger}A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}^{\dagger}\mathbf{v}, \]

另一方面

\[ A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \Rightarrow \mathbf{v}^{\dagger}A^{\dagger}=\bar{\lambda}\mathbf{v}^{\dagger} \Rightarrow \mathbf{v}^{\dagger}A=\bar{\lambda}\mathbf{v}^{\dagger} \Rightarrow \mathbf{v}^{\dagger}A\mathbf{v}=\bar{\lambda}\mathbf{v}^{\dagger}\mathbf{v}, \]

由于 \(\mathbf{v}^{\dagger}\mathbf{v}>0\)，故 \(\lambda = \bar{\lambda}\)，得到 \(\lambda\in\mathbb{R}\)

设 \(\mathbf{v} = \mathbf{a} + i\mathbf{b}\)，其中，\(\mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R}^{n}，\)则

\[ A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \Rightarrow A(\mathbf{a} + i\mathbf{b}) = A\mathbf{a} + iA\mathbf{b} = \lambda\mathbf{a} + i\lambda\mathbf{b}, \]

因此

\[ A\mathbf{a} = \lambda\mathbf{a},\quad A\mathbf{b} = \lambda\mathbf{b}, \]

这表明特征值 \(\lambda\) 存在对应的实特征向量

不同特征根的特征向量正交

设特征值 \(\lambda_{1}\neq\lambda_{2}\) 对应的特征向量分别为 \(\mathbf{v}_{1}\in\mathbb{R}^{n}\) 和 \(\mathbf{v}_{2}\in\mathbb{R}^{n}\)，则

\[ \lambda_{1}\mathbf{v}_{1}^{T}\mathbf{v}_{2}=(\lambda_{1}\mathbf{v}_{1})^{T}\mathbf{v}_{2}=(A\mathbf{v}_{1})^{T}\mathbf{v}_{2}=\mathbf{v}_{1}^{T}A\mathbf{v}_{2}=\lambda_{2}\mathbf{v}_{1}^{T}\mathbf{v}_{2}, \]

由于 \(\lambda_{1} \neq \lambda_{2}\)，因此 \(\mathbf{v}_{1}^{T}\mathbf{v}_{2} = 0\),

正交对角化

假设对于 \(n-1\) 阶实对称矩阵，结论成立，则对于 \(n\) 阶实对称矩阵 \(A\)，取其某一单位特征向量 \(\mathbf{v}_{1}\)，构造正交矩阵 \(V = [\mathbf{v}_{1}\ V_{n-1}]\in\mathbb{R}^{n\times n}\)，则

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} V^{T}AV &= \begin{bmatrix}\mathbf{v}_{1}^{T} \\ V_{n-1}^{T}\end{bmatrix}A\ [\mathbf{v}_{1}\ V_{n-1}]\\ &=\begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1}^{T}A\mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{1}^{T}AV_{n-1} \\ V_{n-1}^{T} A\ \mathbf{v}_{1} & V_{n-1}^{T} A\ V_{n-1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \lambda_{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & V_{n-1}^{T} A\ V_{n-1} \end{bmatrix}, \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

由于矩阵 \(V_{n-1}^{T} A\ V_{n-1}\) 是 \(n-1\) 阶实对称矩阵，因此存在正交矩阵 \(M\in\mathbb{R}^{(n-1)\times (n-1)}\) 将其对角化

\[ M^{T}(V_{n-1}^{T} A\ V_{n-1})M = \Lambda_{n-1}, \]

因此

\[\begin{split} (V\begin{bmatrix} I & \\ & M \end{bmatrix})^{T}A\ (V\begin{bmatrix} I & \\ & M \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & \\ & \Lambda_{n-1} \end{bmatrix}, \end{split}\]

其中，\((V\begin{bmatrix} I & \\ & M \end{bmatrix})\in\mathbb{R}^{n\times n}\) 是正交矩阵

由于

\[ Q^{-1}AQ = \Lambda \Rightarrow AQ = Q\Lambda, \]

代入 \(Q=[\mathbf{q}_{1}\ \mathbf{q}_{2}\ \cdots \mathbf{q}_{n}]\)，和 \(\Lambda = \text{diag}(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})\)，得到

\[ \begin{bmatrix}A\mathbf{q}_{1}& A\mathbf{q}_{2}& \cdots & A\mathbf{q}_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda_{1}\mathbf{q}_{1}& \lambda_{1}\mathbf{q}_{2}& \cdots& \lambda_{1}\mathbf{q}_{n}\end{bmatrix}, \]

因此 \(Q\) 的列向量是矩阵 \(A\) 的特征向量，\(\Lambda\) 的对角元素是对应的特征值

非唯一性

特征值的排序和特征向量的选取会影响 \(Q\) 和 \(\Lambda\) 的取值，因此分解并不唯一

奇异值分解

复数域中正交矩阵为酉矩阵

对于任意实矩阵 \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\)，存在正交矩阵 \(U\in\mathbb{R}^{m\times m},V\in\mathbb{R}^{n\times n}\)和非负对角矩阵 \(\Sigma\in\mathbb{R}^{m\times n}\)，使得

\[ A = U\Sigma V^{T}\quad \Longleftrightarrow \quad AV = U\Sigma. \]

奇异值分解将矩阵分解为了旋转-拉缩-旋转的叠加模式

存在性

半正定矩阵的特征值非负

由于 \(A^{T}A\) 是半正定对称阵，根据谱分解定理，存在正交矩阵 \(V\) 和非负对角阵 \(\Lambda\)， 使得

\[ A^{T}A = V^{T}\Lambda V, \]

其中

\[ V = [\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\cdots,\mathbf{v}_{n}],\quad \Lambda = \text{diag}(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}), \]

且 \(\lambda_{1}\geq\lambda_{2}\geq\cdots\geq\lambda_{n}\)，设前 \(r(\leq\min(m,n))\) 个为非零值。记 \(\sigma_{i} = \sqrt{\lambda_{i}},i=1:r\)，定义向量

\[ \mathbf{u}_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}A\mathbf{v}_{i},\quad i=1:r, \]

有

\[ \mathbf{u}_{i}^{T}\mathbf{u}_{j} = \frac{1}{\sigma_{i}\sigma_{j}}\mathbf{v}_{i}^{T}A^{T}A\mathbf{v}_{j} = \delta_{ij},\quad 1\leq i,j \leq r, \]

将 \(\{\mathbf{u}_{i}\}\) 扩展为 \(\mathbb{R}^{m}\) 下的标准正交基，形成正交矩阵

\[ U = \begin{bmatrix}\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\cdots,\mathbf{u}_{m}\end{bmatrix}, \]

由于 \((AV)^{T}(AV) = \Lambda\)，对于 \(i>r\)，此时 \(\lambda_{i} = 0\)，因此 \(A\mathbf{v} = \mathbf{0}\)，

\[ AV = U\Sigma, \]

其中，\(\Sigma\in\mathbb{R}^{m\times n}\)，其中，对角元素称为矩阵 \(A\) 的奇异值（非零元素为 \(\sigma_{i}\)）

极分解

复数域中分解为酉矩阵与 Hermite 半正定阵

任意实矩阵 \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) 可以分解为正交矩阵与对称半正定阵的乘积

\[ A = RU = VR, \]

其中

• \(R\) 是正交矩阵，表示刚体旋转或反射

• \(U,V\) 是对称半正定阵，表示拉伸或缩放

当 \(A\) 是可逆时，分解是唯一的，且 \(U,V\) 是对称正定阵

存在性

根据矩阵的奇异值分解，存在正交矩阵 \(Q,P\) 和正对角阵 \(\Sigma\)（奇异值 \(\geq0\)） 使得

\[ A = Q\Sigma P^{T}, \]

于是，令

\[ R = QP^{T},\quad U = P\Sigma P^{T},\quad V = Q\Sigma Q^{T}. \]

于是 \(R\) 是正交矩阵，\(U,V\) 是对称半正定阵

当 \(A\) 可逆时，\(\Sigma\) 的对角元素（\(A\) 的奇异值）均为正，因此 \(U,V\) 是对称正定阵

唯一性

当 \(A\) 可逆，若存在正交矩阵 \(R_{1},R_{2}\) 和对称正定阵 \(U_{1},U_{2}\) 满足

\[ A = R_{1}U_{1} = R_{2}U_{2}, \]

则

\[ A^{T}A = U_{1}^{2} = U_{2}^{2}, \]

接下来证明 \(U_{1} = U_{2}\)，由于 \(U_{1}^{2} = U_{2}^{2}\) 且均为对称正定阵（特征值 \(>0\)），因此 \(U_{1}\) 和 \(U_{2}\) 拥有相同的特征值，设分别存在正交矩阵 \(P\) 和 \(Q\) 使得

\[ \begin{equation} U_{1} = P^{T}\Lambda P,\quad U_{2} = Q^{T}\Lambda Q, \end{equation} \]

由 \(U_{1}^{2} = U_{2}^{2} \)，得

\[ P^{T}\Lambda^{2}P = Q^{T}\Lambda^{2} Q\quad \Longrightarrow\quad QP^{T}\Lambda^{2} = \Lambda^{2}QP^{T} \]

由于 \(\Lambda^2\) 与 \(\Lambda\) 具有一致的矩阵结构，因此必然有 \(QP^{T}\Lambda = \Lambda QP^{T}\)，于是

\[ U_{1}=P^{T}\Lambda P = Q^{T}(QP^{T}\Lambda)P = Q^{T}\Lambda QP^{T}P = Q^{T}\Lambda Q = U_{2}. \]

由于 \(U_{1},U_{2}\) 可逆，因此 \(R_{1}=R_{2}\)