梯形公式

假设积分区间 \([a,b]\) 被均匀地划分为 \(n\) 段，每段的长度为 \(h=\frac{b-a}{n}\)，划分节点依次为 \(x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\)，于是 \(x_{i} = a + i\cdot h,\, i=0,2,\cdots,n\)

矩形公式

矩形公式利用 0 次多项式对 \(f(x)\) 插值，通过小区间的左端点、右端点或中点处的函数值作为矩形的高，以宽度 \(h\) 的矩形面积来近似积分值

• 左端点公式：

  \[ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \approx h\sum_{i=0}^{n-1} f(x_{i}) \]

• 右端点公式：

  \[ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \approx h\sum_{i=0}^{n-1} f(x_{i+1}) \]

• 中点公式：

  \[ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \approx h\sum_{i=0}^{n-1} f(x_{i} + \frac{h}{2}) \]

左、右端点公式的误差为 \(O(h)\)，中点公式的误差为 \(O(h^{2})\)

证明

考虑单个区间 \([x_{i}, x_{i} + h]\) 上的积分误差，对于左端点法

\[ E_{\text{左}} = I - I_{\text{左}} = \int_{x_{i}}^{x_{i}+h}f(x)\, \mathrm{d}x - hf(x_{i}), \]

将 \(f(x)\) 在 \(x_{i}\) 处泰勒展开

\[ f(x) = f(x_i) + f'(x_i)(x - x_i) + \frac{f''(x_i)}{2}(x - x_i)^2 + O(h^3) \]

于是

\[ I = \int_{x_{i}}^{x_{i}+h}f(x_i) + f'(x_i)(x - x_i) + \frac{f''(x_i)}{2}(x - x_i)^2 + O(h^3)\, \mathrm{d}x, \]

逐项积分

\[ I = h f(x_i) + \frac{f'(x_i)}{2} h^2 + \frac{f''(x_i)}{6} h^3 + O(h^4), \]

于是

\[ E_{\text{左}} = \frac{f'(x_i)}{2} h^2 + \frac{f''(x_i)}{6} h^3 + O(h^4), \]

因此在区间 \([x_{i}, x_{i} + h]\) 上，主误差项是 \(O(h^2)\)，因此总误差为

\[ \text{总误差}\approx n\cdot O(h^2) = \frac{b-a}{h}\cdot O(h^2) = O(h). \]

右端点法的证明类似

对于中点法，将 \(f(x)\) 在 \(x_{i+\frac{1}{2}} = x_{i} + \frac{h}{2}\) 处泰勒展开

\[ f(x) = f(x_{i+\frac{1}{2}}) + f'(x_{i+\frac{1}{2}}) (x - x_{i+\frac{1}{2}}) + \frac{f''(x_{i+\frac{1}{2}})}{2} (x - x_{i+\frac{1}{2}})^2 + O(h^3), \]

代入积分公式

\[ I=\int_{x_{i}}^{x_{i}+h} f(x_{i+\frac{1}{2}}) + \textcolor{red}{f'(x_{i+\frac{1}{2}}) (x - x_{i+\frac{1}{2}})} + \frac{f''(x_{i+\frac{1}{2}})}{2} (x - x_{i+\frac{1}{2}})^2 + O(h^3) \,\mathrm{d}x, \]

逐项积分，其中红色项积分为 0，因此

\[ I=hf(x_{i+\frac{1}{2}}) + \frac{f''(x_{i+\frac{1}{2}})}{24}h^3 +O(h^4). \]

于是在区间 \([x_{i}, x_{i} + h]\) 上，主误差项是 \(O(h^3)\)，因此总误差为 \(O(h^2)\)

在每个小区间上，中点公式虽然也只采用 0 阶多项式逼近函数 \(f(x)\) （精度为 \(O(h)\)），但由于误差项中

\[f'(x_{i+\frac{1}{2}}) (x - x_{i+\frac{1}{2}})\]

在区间 \([x_{i}, x_{i} + h]\) 上关于 \(x_{i+\frac{1}{2}}\) 中心对称，因此积分为零,使得积分逼近精度提高了一阶（精度为 \(O(h^2)\)）

梯形公式

梯形公式利用 1 次多项式对 \(f(x)\) 插值，通过小区间的左端点和右端点的函数值，构成梯形的面积，对积分进行近似计算

\[ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \approx \frac{h}{2}\sum_{i=0}^{n-1} [f(x_{i}) + f(x_{i+1})] \]

其误差为 \(O(h^2)\)

证明

虑单个区间 \([x_{i}, x_{i} + h]\) 上的积分误差，将 \(f(x_i)\) 和 \(f(x_{i+1})\) 在 \(x_{i+\frac{1}{2}} = x_{i} + \frac{h}{2}\) 处泰勒展开

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} f(x_i) &= f(x_{i+\frac{1}{2}}) - f'(x_{i+\frac{1}{2}}) \frac{h}{2} + \frac{f''(x_{i+\frac{1}{2}})}{2} \left(\frac{h}{2}\right)^2 - \frac{f'''(\xi_1)}{6} \left(\frac{h}{2}\right)^3, \\ f(x_{i+1}) &= f(x_{i+\frac{1}{2}}) + f'(x_{i+\frac{1}{2}}) \frac{h}{2} + \frac{f''(x_{i+\frac{1}{2}})}{2} \left(\frac{h}{2}\right)^2 + \frac{f'''(\xi_2)}{6} \left(\frac{h}{2}\right)^3. \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]

于是

\[ f(x_{i})+f(x_{i+1})=2f(x_{i+\frac{1}{2}})+\frac{f''(x_{i+\frac{1}{2}})}{4}h^2 + O(h^3), \]

将 \(f(x)\) 在 \(x_{i+\frac{1}{2}}\) 处展开并代入积分

\[ I=hf(x_{i+\frac{1}{2}}) + \frac{f''(x_{i+\frac{1}{2}})}{24}h^3 +O(h^4). \]

于是区间 \([x_{i}, x_{i}+h]\) 上的局部误差是

\[ I - \frac{h}{2}[f(x_{i})+f(x_{i+1})] = -\frac{f''(x_{i+\frac{1}{2}})}{12}h^3 + O(h^4), \]

于是总误差

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{aligned} E_{\text{总}}&=-\frac{h^3}{12}\sum_{i=0}^{n}f''(x_{i+\frac{1}{2}}) + n \cdot O(h^4)\\ &=-\frac{(b-a)}{12}h^2f''(\xi). \end{aligned} \end{equation} \end{split}\]