代数精度#
代数精度定义为数值积分公式能够精确积分多项式的最高次数，是衡量积分公式精确程度的关键指标
\[
\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\approx\sum_{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})
\]
具体而言，若积分公式对任意次数不超过 \(k\) 的多项式 \(f(x)\) 均能给出精确结果，但对至少一个 \(k+1\) 次多项式不精确，则其代数精度为 \(k\)
代数精度越高，积分公式对连续函数的逼近能力越强，误差随步长 \(h\) 减小而下降的速度越快。高代数精度的公式，在相同计算量下可达到更高精度，或在相同精度要求下减少计算量
代数精度在有限元计算中具有重要意义。在有限元方法中，解函数通过分片多项式进行近似，代数精度决定了使用数值积分方法对单元内多项式积分的精度代数精度的确定方法#
按照多项式次数由低到高的顺序依次选择测试函数 \(f(x) = 1, x, x^2, x^3, \cdots\)，逐一验证数值积分公式对这些多项式是否能够精确成立
常用的积分公式代数精度如下
方法名称 |
节点数 |
代数精度 |
误差阶 |
|---|---|---|---|
左/右端点矩形公式 |
\(1\) |
\(0\) |
\(O(h^2)\) |
中点矩形公式 |
\(1\) |
\(1\) |
\(O(h^3)\) |
梯形公式 |
\(2\) |
\(1\) |
\(O(h^3)\) |
辛普森公式 |
\(3\) |
\(3\) |
\(O(h^5)\) |
高斯公式 |
\(n\) |
\(2n-1\) |
\(O(h^{(2n)})\) |