各向同性硬化模型

各向同性硬化模型假设屈服函数是应力的各向同性函数，即在整个塑性变形过程中，屈服面以其中心为原点（位置不变），保持形状不变地向外均匀膨胀，反映了材料在各个方向上的屈服行为一致

在金属塑性中，硬化内变量的本质与晶体学微观结构中位错密度的变化密切相关，这种变化导致对塑性流动的阻力以各向同性的方式增加。在各向同性硬化的本构描述中，内变量集合 \(\boldsymbol{\alpha}\) 通常仅包含一个标量变量，该变量决定了屈服面的大小。在各向同性硬化的建模过程中，应变硬化和功硬化是两种常用且有效的方法，广泛应用于对不同材料行为的建模

应变硬化

在应变硬化中，硬化内变量通常选为应变的标量度量，一个经典的例子是 Mises 等效塑性应变，也被称为 累积塑性应变

\[ \bar{\varepsilon}^{p} = \int_{0}^{t}\sqrt{\frac{2}{3}\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}}\ \mathrm{d}t=\int_{0}^{t}\sqrt{\frac{2}{3}}\|\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}\|\ \mathrm{d}t, \]

因此

(91)\[ \dot{\bar{\varepsilon}}^{p} = \sqrt{\frac{2}{3}}\|\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}\|, \]

对于 Mises 屈服准则，有

\[ \mathbf{N} = \frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{\sigma}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{\mathbf{s}}{\|\mathbf{s}\|}, \]

因此

\[ \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}=\dot{\gamma}\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{\sigma}}=\dot{\gamma}\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{\mathbf{s}}{\|\mathbf{s}\|}, \]

代入到式 (91) 中得到

\[ \dot{\bar{\varepsilon}}^{p} = \dot{\gamma}. \]

相应地，Mises 各向同性应变硬化模型为

\[ \sigma_{y} = \sigma_{y}(\bar{\varepsilon}^{p}). \]

线性硬化

\[ \sigma_{y}(\bar{\varepsilon}^{p})=\sigma_{y0}+H\bar{\varepsilon}^{p}, \]

其中，\(\sigma_{y0}\) 是初始屈服强度

功硬化

在功硬化模型中，将耗散塑性功作为硬化状态的变量

\[ w^{p} = \int_{0}^{t}\boldsymbol{\sigma}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}\ \mathrm{d}t, \]

于是

\[ \dot{w}^{p}=\boldsymbol{\sigma}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}, \]

相应地，Mises 各向同性应变硬化模型为

\[ \sigma_{y} = \sigma_{y}(w^{p}), \]

热力学方面

选取

\[ \boldsymbol{\alpha} = \{\bar{\varepsilon}_{n}^{p}\},\quad \mathbf{A} = \{\kappa\}, \]

硬化模型可以写为

\[ \sigma_{y}(\bar{\varepsilon}^p) = \sigma_{0} + \kappa(\bar{\varepsilon}^p), \]

故

\[ \begin{equation} \frac{\partial^2 \psi^p}{\partial \boldsymbol{\alpha}^2}=\frac{\partial \psi^p}{\partial {\bar{\varepsilon}^{p}}^{2}}=\frac{\partial \kappa}{\partial \bar{\varepsilon}^{p}} = H(\bar{\varepsilon}^{p}), \end{equation} \]

对于线性硬化，有 \(H(\bar{\varepsilon}^{p}) \equiv H\).