Updated Lagrangian 格式#
在 Updated Lagrangian 格式中，以上一为参考构型，所有量都在上一构型中度量根据虚功原理 (34)，第 \(t^{n+1}\) 时满足
(40)#\[
\int_{\Omega_{n}} \mathbf{S}^{n+1}:\delta\mathbf{E}^{n+1}\ \mathrm{d}V - \left(\int_{\Omega_{n}}\mathbf{\hat{f}}^{n+1}\cdot\delta\mathbf{u}\ \mathrm{d}V+\oint_{\Gamma_{n}}\mathbf{\hat{t}}^{n+1}\cdot\delta\mathbf{u}\ \mathrm{d}S\right) = 0
\]
增量分解#
由于参考构型为上一构型 \(\Omega_{n}\)，故
\[
\mathbf{u}^{n} = \mathbf{0},\quad \mathbf{u}^{n+1} = \mathbf{u}^{n} + \Delta\mathbf{u} = \Delta\mathbf{u}
\]
于是 \(\mathbf{E}^{n}=\mathbf{0}\)，且
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\Delta\mathbf{E}&=\mathbf{E}^{n+1} - \mathbf{E}^{n} = \mathbf{E}(\mathbf{u}^{n+1}) = \mathbf{E}(\Delta\mathbf{u}) \\ &= \frac{1}{2}[\nabla_{0}\Delta\mathbf{u}+(\nabla_{0}\Delta\mathbf{u})^{T}+(\nabla_{0}\Delta\mathbf{u})^{T}\cdot(\nabla_{0}\Delta\mathbf{u})]\\
&:=\Delta\mathbf{E}^{\text{L}}+\Delta\mathbf{E}^{\text{NL}}
\end{aligned}
\end{split}\]
其中
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\Delta\mathbf{E}^{\text{L}}&=\frac{1}{2}[\nabla_{0}\Delta\mathbf{u}+(\nabla_{0}\Delta\mathbf{u})^{T}]\\
\Delta\mathbf{E}^{\text{NL}}&=\frac{1}{2}[(\nabla_{0}\Delta\mathbf{u})^{T}\cdot(\nabla_{0}\Delta\mathbf{u})]
\end{aligned}
\end{split}\]
分别是增量的线性部分和非线性部分
注意：参考构型是上一构型 \(\Omega_{n}\)，故 \(\nabla_{0}\) 也是针对 \(\Omega_{n}\) 的梯度
对于 PK2 应力张量，有
\[
\mathbf{S}^{n+1} = \boldsymbol{\sigma}^{n} + \Delta\mathbf{S}
\]
其中，\(\mathbf{S}^{n+1}\) 是 \(t^{n+1}\) 时刻的 PK2 在构型 \(\Omega_{n}\) 上的度量，\(\boldsymbol{\sigma}^{n}\) 是 \(t^{n}\) 时刻的 Cauchy 应力张量在构型 \(\Omega_{n}\) 上的度量，\(\Delta\mathbf{S}\) 被称为 Updated Kirchhoff 应力张量增量，在 \(\Omega_{n}\) 上度量，是计算的中间量
由于
\[
\delta\mathbf{E}^{n+1}=\delta(\Delta\mathbf{E}) = \delta\Delta\mathbf{E}
\]
于是
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\int_{\Omega_{n}} \mathbf{S}^{n+1}:\delta\mathbf{E}^{n+1}\ \mathrm{d}V &= \int_{\Omega_{n}}(\boldsymbol{\sigma}^{n} + \Delta\mathbf{S}):\delta\Delta\mathbf{E}\ \mathrm{d}V\\
&=\int_{\Omega_{n}}(\sigma^{n}_{ij} + \Delta S_{ij})(\delta\Delta E_{ij})\ \mathrm{d}V\\
&=\int_{\Omega_{n}}(\sigma^{n}_{ij}(\delta\Delta E^{\text{L}}_{ij}+\delta\Delta E^{\text{NL}}_{ij}) + \Delta S_{ij}(\delta\Delta E_{ij}))\ \mathrm{d}V
\end{aligned}
\end{split}\]
记
\[
\delta R^{n+1}=\int_{\Omega_{n}}\mathbf{\hat{f}}^{n+1}\cdot\delta\mathbf{u}\ \mathrm{d}V+\oint_{\Gamma_{n}}\mathbf{\hat{t}}^{n+1}\cdot\delta\mathbf{u}\ \mathrm{d}S
\]
于是 (40) 可以写为
(41)#\[
\int_{\Omega_{n}} \Delta S_{ij}(\delta\Delta E_{ij})+\sigma^{n}_{ij}(\delta\Delta E^{\text{L}}_{ij})+\sigma^{n}_{ij}(\delta\Delta E^{\text{NL}}_{ij})\ \mathrm{d}V - \delta R^{n+1} = 0
\]
这是关于 \(\Delta \mathbf{u}\) 的非线性方程
线性化#
增量形式的本构方程写为
\[
\Delta S_{ij} \approx C_{ijkl}\Delta E_{kl}
\]
其中 \(\Delta E\) 仍为 Green-Lagrange 应变增量
代入到方程 (41) 得到
(42)#\[
\int_{\Omega_{n}} C_{ijkl}\Delta E_{kl}(\delta\Delta E_{ij})+\sigma^{n}_{ij}(\delta\Delta E^{\text{L}}_{ij})+\sigma^{n}_{ij}(\delta\Delta E^{\text{NL}}_{ij})\ \mathrm{d}V - \delta R^{n+1} = 0
\]
由于 \(\Delta\mathbf{E}^{\text{NL}}\) 是 \(\Delta\mathbf{u}\) 的高阶无穷小量，因此
\[
\Delta E_{kl} \rightarrow \Delta E^{\text{L}}_{kl}
\]
于是方程 (42) 写为
(43)#\[
\int_{\Omega_{n}} C_{ijkl}\Delta E_{kl}^{\text{L}}(\delta\Delta E_{ij}^{\text{L}})+\sigma^{n}_{ij}(\delta\Delta E^{\text{L}}_{ij})+\sigma^{n}_{ij}(\delta\Delta E^{\text{NL}}_{ij})\ \mathrm{d}V - \delta R^{n+1} = 0
\]
变分计算#
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\delta\Delta\mathbf{E}^{\text{L}}&=\frac{1}{2}\delta[\nabla_{0}\Delta\mathbf{u}+(\nabla_{0}\Delta\mathbf{u})^{T}]\\
&=\frac{1}{2}[\nabla_{0}\delta\Delta\mathbf{u}+(\nabla_{0}\delta\Delta\mathbf{u})^{T}]\\
\delta\Delta\mathbf{E}^{\text{NL}}&=\frac{1}{2}\delta[(\nabla_{0}\Delta\mathbf{u})^{T}\cdot(\nabla_{0}\Delta\mathbf{u})]\\
&=\frac{1}{2}[(\nabla_{0}\delta\Delta\mathbf{u})^{T}\cdot(\nabla_{0}\Delta\mathbf{u}) + (\nabla_{0}\Delta\mathbf{u})^{T}\cdot(\nabla_{0}\delta\Delta\mathbf{u})]
\end{aligned}
\end{split}\]
由于 \(\Delta \mathbf{E}^{\text{L}}\) 是关于 \(\mathbf{u}\) 的线性函数，因此 \(\delta\Delta \mathbf{E}^{\text{L}}\) 中仅包含 \(\delta\Delta\mathbf{u}\) 而不包含 \(\Delta\mathbf{u}\)，将自由度项置于左端，最终得到
(44)#\[
\int_{\Omega_{0}} C_{ijkl}\Delta E_{kl}^{\text{L}}(\delta\Delta E_{ij}^{\text{L}})+\sigma^{n}_{ij}(\delta\Delta E^{\text{NL}}_{ij})\ \mathrm{d}V = \delta R^{n+1} - \int_{\Omega_{0}}\sigma^{n}_{ij}(\delta\Delta E^{\text{L}}_{ij})\ \mathrm{d}V
\]