应变度量

连续介质的几何变化可以通过多种方式进行度量，这里讨论一种通用的度量方法，该方法能够有效排除平移和旋转的影响，从而独立地反映介质的本质变形

考虑初始构型 \(\Omega_{0}\) 上的微元段 \(\mathrm{d}\mathbf{X}\)，在当前构型 \(\Omega\) 上为 \(\mathrm{d}\mathbf{x} = \mathbf{F}\mathrm{d}\mathbf{X}\)，于是

\[\begin{split} \begin{aligned} (\mathrm{d}S)^{2}&=\mathrm{d}\mathbf{X}\cdot\mathrm{d}\mathbf{X} = (\mathrm{d}\mathbf{x})^{T}(\mathbf{F}^{-T}\mathbf{F}^{-1})\mathrm{d}\mathbf{x}\\ (\mathrm{d}s)^{2}&=\mathrm{d}\mathbf{x}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x}=（\mathrm{d}\mathbf{X})^{T}(\mathbf{F}^{T}\mathbf{F})\mathrm{d}\mathbf{X} \end{aligned} \end{split}\]

上式中

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathbf{C}&=\mathbf{F}^{T}\mathbf{F}\\ \mathbf{B}&=\mathbf{C}^{-1}=\mathbf{F}^{-1}\mathbf{F}^{-T} \end{aligned} \end{split}\]

\(\mathbf{C}\) 被称为 右 Cauchy-Green 变形张量，是基于物质描述，\(\mathbf{B}\) 被称为 Piola 变形张量

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathbf{c}&=\mathbf{F}^{-T}\mathbf{F}^{-1}\\ \mathbf{b}&=\mathbf{c}^{-1}=\mathbf{F}\mathbf{F}^{T} \end{aligned} \end{split}\]

\(\mathbf{b}\) 被称为 左 Cauchy-Green 应变张量，也称为 Finger 变形张量，是基于空间描述

Green-Lagrange 应变张量

任意微元段的长度变化能够真实地反映出物质体的形变特征

\[ (\mathrm{d}s)^{2} - (\mathrm{d}S)^{2} = ({\color{red}\mathrm{d}\mathbf{X}})^{T}(\mathbf{F}^{T}\mathbf{F} - \mathbf{I}){\color{red}\mathrm{d}\mathbf{X}}=2({\color{red}\mathrm{d}\mathbf{X}})^{T}\mathbf{E}{\color{red}\mathrm{d}\mathbf{X}} \]

其中

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathbf{E}&=\frac{1}{2}(\mathbf{F}^{T}\mathbf{F} - \mathbf{I}) = \frac{1}{2}(\mathbf{C} - \mathbf{I})\\ &=\frac{1}{2}[\nabla_{0}\mathbf{u}+(\nabla_{0}\mathbf{u})^{T}+(\nabla_{0}\mathbf{u})^{T}\cdot(\nabla_{0}\mathbf{u})] \end{aligned} \end{split}\]

被称为 Green-Lagrange 应变张量（或简称为 Green 张量）；Green 张量是对称张量，当且仅当长度变化为 0 时，\(\mathbf{E}=\mathbf{0}\)

写为分量形式，有

\[\begin{split} \begin{aligned} C_{IJ} &= \frac{x_{k}}{X_{I}}\frac{x_{k}}{X_{J}}\\ E_{IJ} &= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{I}}{X_{J}} + \frac{\partial u_{J}}{X_{I}} + \frac{\partial u_{k}}{X_{I}}\frac{\partial u_{k}}{X_{J}}\right) \end{aligned} \end{split}\]

注意到，\(\mathbf{C}\) 和 \(\mathbf{E}\) 都是物质描述下的应变张量

Cauchy 和 Euler 应变张量

使用空间描述表征微元长度变化

\[ (\mathrm{d}s)^{2} - (\mathrm{d}S)^{2} = ({\color{red}\mathrm{d}\mathbf{x}})^{T}(\mathbf{I} - \mathbf{F}^{-T}\mathbf{F}^{-1}){\color{red}\mathrm{d}\mathbf{x}}=2({\color{red}\mathrm{d}\mathbf{x}})^{T}\mathbf{e}{\color{red}\mathrm{d}\mathbf{x}}, \]

其中

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathbf{e}&= \frac{1}{2}(\mathbf{I} - \mathbf{F}^{-T}\mathbf{F}^{-1})=\frac{1}{2}(\mathbf{I}-\mathbf{b}^{-1})\\ &=\frac{1}{2}[\mathbf{I} - (\mathbf{I} - \nabla\mathbf{u})^{T}(\mathbf{I} - \nabla\mathbf{u})]\\ &=\frac{1}{2}[\nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^{T} - (\nabla\mathbf{u})^{T}\nabla\mathbf{u}] \end{aligned} \end{split}\]

被称为 Euler-Almansi 应变张量 或 Euler 应变张量，其分量形式为

\[ e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\delta_{ij}-\frac{\partial X_{K}}{\partial x_{i}}\frac{\partial X_{K}}{\partial x_{j}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{i}}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}}\right) \]

注意到，\(\mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{e}\) 都是空间描述下的应变张量

度量构型变换

在空间描述和物质描述下的变换通常称为 push-forward 算子和 pull-back 算子，前者将参考构型 \(\Omega_{0}\) 下的描述转换到当前构型 \(\Omega\) 下，后者则反之。对于 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{e}\)，有

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathbf{e}&= \frac{1}{2}(\mathbf{I} - \mathbf{F}^{-T}\mathbf{F}^{-1})=\frac{1}{2}\mathbf{F}^{-T}(\mathbf{F}^{T}\mathbf{F}-\mathbf{I})\mathbf{F}^{-1}\\ &=\mathbf{F}^{-T}\mathbf{E}\mathbf{F}^{-1} \end{aligned} \end{split}\]

反之

\[ \mathbf{E} = \mathbf{F}^{T}\mathbf{e}\mathbf{F} \]

无穷小应变张量与旋转

无穷小应变张量

当

\[ \frac{\partial u_{I}}{\partial X_{J}} = O(\epsilon) \]

时，有

\[ \mathbf{E}_{IJ}\approx\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{I}}{X_{J}} + \frac{\partial u_{J}}{X_{I}}\right) = O(\epsilon) \]

并且有

\[ |\nabla \mathbf{u}| \approx |\nabla_{0} \mathbf{u}| = O(\epsilon) \]

此时，无需再区分构型，可以忽略 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{e}\) 的差异，统一使用无穷小应变张量 \(\boldsymbol{\varepsilon}\) 表示

\[ \mathbf{E}\approx\mathbf{e}\approx\boldsymbol{\varepsilon}=\frac{1}{2}[\nabla_{0}\mathbf{u}+(\nabla_{0}\mathbf{u})^{T}], \]

其分量形式为

\[ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial X_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial X_{i}}\right). \]

其中，\(\gamma_{ij}=2\varepsilon_{ij},i\neq j\) 称为工程剪切应变

旋转

将 \(\nabla_{0}\mathbf{u}\) 分解为对称和反对称的部分

\[ \nabla_{0}\mathbf{u} = \frac{1}{2}[\nabla_{0}\mathbf{u} + (\nabla_{0}\mathbf{u})^{T}] + \frac{1}{2}[\nabla_{0}\mathbf{u} - (\nabla_{0}\mathbf{u})^{T}] = \boldsymbol{\varepsilon} + \boldsymbol{\Omega} \]

其中，对称的部分是无穷小应变张量，而反对称的部分是无穷小旋转张量；上述分解将应变分解为了对称剪切部分和旋转部分

\[ \Omega_{ij} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial X_{j}} - \frac{\partial u_{j}}{\partial X_{i}}\right),\quad \Omega_{ij} = -\Omega_{ji} \]

三阶反对称矩阵只有三个独立元分量

\[\begin{split} \boldsymbol{\Omega}=\begin{bmatrix} 0&\Omega_{12}&\Omega_{13}\\ -\Omega_{12}&0&\Omega_{23}\\ -\Omega_{13}&-\Omega_{23}&0 \end{bmatrix} \end{split}\]

\(\boldsymbol{\Omega}\) 可以写为

\[\begin{split} \begin{aligned} \boldsymbol{\Omega} &= -\mathcal{E}\boldsymbol{\omega}\quad &\text{or} \quad \boldsymbol{\omega} &= -\frac{1}{2}\mathcal{E}:\boldsymbol{\Omega}\\ \Omega_{ij}&=-e_{ijk}\omega_{k} &\text{or} \quad \omega_{i}&=-\frac{1}{2}e_{ijk}\Omega_{jk} \end{aligned} \end{split}\]

其中，\(\mathcal{E}=e_{ijk}\mathbf{e}_{i}\mathbf{e}_{j}\mathbf{e}_{k}=e_{ijk}\mathbf{e}_{i}\otimes\mathbf{e}_{j}\otimes\mathbf{e}_{k}\) 是排序张量

\[ \omega_{i}=\frac{1}{2}e_{ijk}\frac{\partial u_{k}}{\partial X_{j}}\quad \text{or} \quad \boldsymbol{\omega}=\frac{1}{2}\nabla_{0}\times\mathbf{u} \]

速度梯度场

速度梯度场的空间描述为

\[ \mathbf{l}=\nabla \mathbf{v}(\mathbf{x},t)\quad \text{or} \quad l_{ij}=\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \]

对速度梯度张量 \(\mathbf{l}\) 进行分解，可得

\[ \mathbf{l}=\frac{1}{2}[\nabla \mathbf{v} + (\nabla \mathbf{v})^{T}] + \frac{1}{2}[\nabla \mathbf{v} - (\nabla \mathbf{v})^{T}]\equiv \mathbf{d} + \mathbf{w}， \]

其中，对称部分

\[ \mathbf{d}=\frac{1}{2}(\mathbf{l}+\mathbf{l}^{T}) \]

被称为变形率张量，用于刻画局部变形速率；反对称部分

\[ \mathbf{w}=\frac{1}{2}(\mathbf{l}-\mathbf{l}^{T}) \]

被称为旋转率张量，用于描述局部旋转速率

使用物质描述表示速度梯度场

\[ \mathbf{l}=\nabla\mathbf{v}=\frac{\partial \dot{\mathbf{x}}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial \dot{\mathbf{x}}}{\partial \mathbf{X}}\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \mathbf{x}}=\dot{\mathbf{F}}\mathbf{F}^{-1} \]

或

\[ \dot{\mathbf{F}}=\mathbf{l}\mathbf{F} \]

由此，Green 应变张量 \(\mathbf{E}\) 的物质时间导数为

\[\begin{split} \begin{aligned} \dot{\mathbf{E}}&=\frac{1}{2}\left(\dot{\mathbf{F}}^{T}\mathbf{F}+\mathbf{F}^{T}\dot{\mathbf{F}}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\mathbf{F}^{T}\mathbf{l}^{T}\mathbf{F}+\mathbf{F}^{T}\mathbf{l}\mathbf{F}\right)\\ &=\mathbf{F}^{T}[\frac{1}{2}\left(\mathbf{l}^{T}+\mathbf{l}\right)]\mathbf{F}\\ &=\mathbf{F}^{T}\mathbf{d}\mathbf{F}, \end{aligned} \end{split}\]

类似地，Euler-Almansi 应变张量的时间导数为

\[\begin{split} \begin{aligned} \dot{\mathbf{e}}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{F}^{-T})\mathbf{E}\mathbf{F}^{-1}+\mathbf{F}^{-T}\dot{\mathbf{E}}\mathbf{F}^{-1}+\mathbf{F}^{-T}\mathbf{E}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{F}^{-1})\\ &=-\mathbf{F}^{-T}\dot{\mathbf{F}}^{T}\mathbf{F}^{-T}\mathbf{E}\mathbf{F}^{-1}+\mathbf{d}-\mathbf{F}^{-T}\mathbf{E}\mathbf{F}^{-1}\dot{\mathbf{F}}\mathbf{F}^{-1}\\ &=\mathbf{d}-\mathbf{l}^{T}\mathbf{e}-\mathbf{e}\mathbf{l} \end{aligned} \end{split}\]

矩阵逆的导数

由于

\[ \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}, \]

故

\[ \dot{\mathbf{A}}\mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{A}^{-1})=\mathbf{0}, \]

于是

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{A}^{-1}) = -\mathbf{A}^{-1}\dot{\mathbf{A}}\mathbf{A}^{-1} \]