构型与描述

在小变形、小位移假设下,通常采用初始构型(参考构型)作为控制体建立控制方程并求解,此时可忽略构型更新的影响。而在大变形或大位移分析中,则必须严格区分参考构型与当前构型,并考虑二者之间的构型描述转换,这是连续介质力学和有限变形理论的核心问题之一

Fig. 18 构型与连续体映射

考虑连续物质体（下简称物质体） \(\mathcal{B}\)，在给定几何条件和外力作用下，\(\mathcal{B}\) 发生宏观几何变化，称为变形。变形过程中，\(\mathcal{B}\) 占据的空间区域随时间连续演化，其在任一时刻所占据的空间区域称为构型，记为 \(\Omega\)

如下图所示，物质体 \(\mathcal{B}\) 在初始时刻的构型为 \(\Omega_0\)，称为参考构型；在当前时刻的构型为 \(\Omega\)，称为当前构型映射

\[ \mathcal{X}:\Omega_{0}\rightarrow \Omega \]

称为物质体 \(\mathcal{B}\) 的变形映射（或运动映射），它给出了物质点从参考位置 \(\mathbf{X}\) 到当前位置 \(\mathbf{x}=\mathcal{X}(\mathbf{X})\) 的变换关系。\(\mathbf{X}\) 和 \(\mathbf{x}\) 是在同一坐标系下不同构型的位置参数，它们不代表坐标系本身

物质描述与空间描述

对连续体的变形通常有两种数学描述：物质描述，也称为 Lagrangian 描述；空间描述，也称为 Euler 描述

物质描述

Fig. 19 物质描述

物质描述跟踪物质体中每个物质点的运动历程

\[ \mathbf{x}=\mathcal{X}(\mathbf{X}, t),\quad \mathbf{X}=\mathcal{X}(\mathbf{X},0), \]

对于分布在物质体上的物理量 \(\phi\)，其物质描述为

\[ \phi=\phi(\mathbf{X}, t), \]

即初始时刻占据位置 \(\mathbf{X} \in \Omega_0\) 的物质点在 \(t\) 时刻的物理量值（此时它已经运动到了 \(\mathbf{x}\)）。因此，物质描述采用跟随物质点运动的观察方式，关注特定物质点所携带物理量随时间的演化

物质描述常用于研究固体的应力和变形，因为通常关注的是物体本身及其在固定结构上的响应，而不关心它所处的具体空间位置

空间描述

Fig. 20 空间描述

空间描述观察固定空间位置的状态变化

\[ \phi=\phi(\mathbf{x},t),\quad \mathbf{X}=\mathbf{X}(\mathbf{x}, t), \]

即空间位置 \(\mathbf{x}\in\Omega\) 处的物理量随时间的变化。因此，空间描述关注的是场随时间的变化

而空间描述则常用于研究流体运动，此时关注的是固定空间位置上的流动状态（如密度、温度、压力等），而不是那些瞬时占据该空间位置的物质微粒

物质导数

对于确定的物质点 \(\mathbf{X}\)，其所携带的物理量 \(\phi\) 随时间的变化可表示为

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\phi(\mathbf{X},t)\right], \]

这一时间导数被称为物质导数

根据链式法则，有

物质点 \(\mathbf{X}\) 的空间位置也随时间变化

\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\phi(\mathbf{X},t)\right] &= \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial X_{i}}\frac{\partial X_{i}}{\partial t} \\ &=\frac{\partial \phi}{\partial t} + \left(\frac{\partial \phi}{\partial x_{j}}\frac{\partial x_{j}}{\partial X_{i}}\right)\frac{\partial X_{i}}{\partial t}\\ &=\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial x_{j}}\left(\frac{\partial x_{j}}{\partial X_{i}}\frac{\partial X_{i}}{\partial t}\right)\\ &=\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial x_{j}}\frac{\partial x_{j}}{\partial t}\\ &=\frac{\partial \phi}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\phi \end{aligned} \end{split}\]

其中，\(\mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}}\) 是速度场

于是得到空间场的物质导数算子

(20)\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla \]

示例

例如，对于 \(t\) 时刻占据位置 \(\mathbf{x}\) 的物质点 \(\mathbf{X}\) 的加速度为

\[ \mathbf{a}(\mathbf{x},t)=\frac{\mathrm{d} \mathbf{v}(\mathbf{x},t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}, \]

即

\[ a_{i} = \frac{\partial v_{i}}{\partial t}+v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}. \]

位移场

Fig. 21 位移场

变形通常可以通过物质体内各物质点的相对位移来刻画，对于物质点 \(\mathbf{X}\)，其位移为

\[ \mathbf{u} = \mathbf{x} - \mathbf{X}, \]

在物质描述中，上式可以写为

\[ \mathbf{u}({\color{red}\mathbf{X}},t) = \mathbf{x}({\color{red}\mathbf{X}},t) - {\color{red}\mathbf{X}}, \]

而在空间描述中，写为

\[ \mathbf{u}({\color{red}\mathbf{x}},t) = {\color{red}\mathbf{x}} - \mathbf{X}({\color{red}\mathbf{x}},t), \]