连续介质力学方程#
质量守恒方程#
也被成为连续方程，其可以表述为
在一个封闭系统内，质量在化学反应或物理变化过程中保持不变，不会凭空产生，也不会凭空消失
假设物质体中的质量点以速度 \(\mathbf{v}(\mathbf{x},t)\) 运动，考虑一个空间区域 \(\Omega\)，其边界表面 \(\Gamma\) 始终跟随一组特定的物质元素移动。因此，\(\Omega\) 是一个随体区域，其包含的质量始终保持不变——即，满足质量守恒
空间描述#
对于分布函数（或物理场） \(\phi(\mathbf{x},t)\)，其变化满足
(22)#\[
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}\phi(\mathbf{x},t)\mathrm{d}v=\int_{\Omega}\frac{\partial \phi}{\partial t}\mathrm{d}v+\oint_{\Gamma}\phi\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}s
\]
即区域 \(\Omega\) 中 \(\phi\) 的总变化率，等于 \(\phi\) 在区域内的瞬时变化率加上通过通过边界 \(\Gamma\) 的流出（或流入）速率
将密度场函数 \(\rho(\mathbf{x},t)\) 代入，质量守恒要求
\[
0=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}\rho\mathrm{d}v=\int_{\Omega}\frac{\partial \rho}{\partial t}\mathrm{d}v+\oint_{\Gamma}\rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}s
\]
将面积分转换为体积分
\[
\oint_{\Gamma}\rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}s = \int_{\Omega}\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})\mathrm{d}v
\]
于是得到
\[
\int_{\Omega}\left[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v})\right]\mathrm{d}v = 0
\]
由区域 \(\Omega\) 的任意性，得到其局部形式
(23)#\[
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0
\]
物质描述#
设物质体 \(\mathcal{B}\) 在初始时刻的构型为 \(\Omega_{0}\)，密度分布为 \(\rho_{0}(\mathbf{X}, 0)\)；在时刻 \(t\)，其当前构型为 \(\Omega\)，密度分布为 \(\rho(\mathbf{X}, t)\)，于是，根据质量守恒原理，有
\[
\int_{\Omega_{0}}\rho_{0}\mathrm{d}V=\int_{\Omega}\rho\mathrm{d}v
\]
根据体积变换公式，得到
\[
\int_{{\color{red}\Omega_{0}}}(\rho_{0}-J\rho)\mathrm{d}V = 0
\]
由于 \(\Omega_{0}\) 的任意性，得到其局部形式
\[
\rho_{0}=J\rho
\]
Reynolds 输运定理#
代入 \(\phi = \rho Q\) 到方程 (22)，并将面积分转换为体积分得到
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}\rho Q\mathrm{d}v&=\int_{\Omega}\left(\frac{\partial (\rho Q)}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho Q\mathbf{v})\right)\mathrm{d}v\\
&=\int_{\Omega}\left(\frac{\partial \rho}{\partial t} Q+\frac{\partial Q}{\partial t} \rho+\nabla Q\cdot(\rho\mathbf{v})+Q\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})\right)\mathrm{d}v
\end{aligned}
\end{split}\]
根据连续性方程 (23)，有
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t} Q+Q\nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = Q(\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{v}))=0
\]
另一方面，根据物质导数算子 (20)
\[
\frac{\partial Q}{\partial t} \rho+\nabla Q\cdot(\rho\mathbf{v}) = \rho(\frac{\partial Q}{\partial t}+\nabla Q\cdot\mathbf{v})=\rho\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}
\]
因此，上式可以写为
(24)#\[
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}\rho Q\mathrm{d}v=\int_{\Omega}\rho\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}v
\]
这被称为 Reynolds 输运定理
动量平衡方程#
线动量平衡方程#
线动量的变化率等于作用在连续体上的所有力之和
空间形式#
设 \(\mathbf{f}\) 是体积力，\(\mathbf{t}\) 是单位面积的表面力，线动量守恒要求
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\int_{\Omega}\rho\mathbf{v}\mathrm{d}v=\oint_{\Gamma}\mathbf{t}\mathrm{d}s+\int_{\Omega}\mathbf{f}\mathrm{d}v=\int_{\Omega}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{f}\right)\mathrm{d}v
\]
\(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}\)
记 \(\boldsymbol{\sigma}_{i}\) 为 \(\boldsymbol{\sigma}\) 的行向量
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\oint_{\Gamma}\mathbf{t}\mathrm{d}s &= \oint_{\Gamma}\boldsymbol{\sigma}\mathbf{n}\mathrm{d}s=\oint_{\Gamma}\begin{bmatrix}\boldsymbol{\sigma}_{1}\cdot\mathbf{n}\\\boldsymbol{\sigma}_{2}\cdot\mathbf{n}\\\boldsymbol{\sigma}_{3}\cdot\mathbf{n}\end{bmatrix}\mathrm{d}s=\int_{\Omega}\begin{bmatrix}\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_{1}\\\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_{2}\\\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_{3}\end{bmatrix}\mathrm{d}v
\end{aligned}=\int_{\Omega}\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}\mathrm{d}v
\end{split}\]
根据 Reynolds 输运定理，得到
(25)#\[
0=\int_{\Omega}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{f} -\rho\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\right)\mathrm{d}v
\]
由 \(\Omega\) 的任意性，得到其微分形式
(26)#\[
\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{f} =\rho\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}
\]
代入物质导数算子 (20)，得到
\[
\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{f} =\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}\right)
\]
写为分量形式
\[
\frac{\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + f_{i} = \rho\left(\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\right)
\]
物质形式#
将积分变换到初始构型
\[
\begin{aligned}
\int_{\Omega}\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}\mathrm{d}v
&=\int_{\Omega_{0}}\nabla_{0}\cdot(\boldsymbol{\sigma}\mathbf{F}^{-T}J)\mathrm{d}V=\int_{\Omega_{0}}\nabla_{0}\cdot\mathbf{P}\mathrm{d}V
\end{aligned}
\]
证明
记
\[\begin{split}
\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z} \\
\frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial z} \\
\frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_{1}\\
\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_{2}\\
\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_{3}
\end{bmatrix}
\end{split}\]
根据 Piola 恒等式 (21)，有
\[
\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_{i}=\frac{1}{J}\nabla_{0}\cdot(J\mathbf{F}^{-1}\boldsymbol{\sigma}_{i})
\]
于是
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}&=\frac{1}{J}\begin{bmatrix}
\nabla_{0}\cdot(J\mathbf{F}^{-1}\boldsymbol{\sigma}_{1})\\
\nabla_{0}\cdot(J\mathbf{F}^{-1}\boldsymbol{\sigma}_{2})\\
\nabla_{0}\cdot(J\mathbf{F}^{-1}\boldsymbol{\sigma}_{3})
\end{bmatrix}=\frac{1}{J}\nabla_{0}\cdot\begin{bmatrix}
(J\mathbf{F}^{-1}\boldsymbol{\sigma}_{1})^{T}\\
(J\mathbf{F}^{-1}\boldsymbol{\sigma}_{2})^{T}\\
(J\mathbf{F}^{-1}\boldsymbol{\sigma}_{3})^{T}
\end{bmatrix}\\
&= \frac{1}{J}\nabla_{0}\cdot(J\boldsymbol{\sigma}\mathbf{F}^{-T})=\frac{1}{J}\nabla_{0}\cdot\mathbf{P}
\end{aligned}
\end{split}\]
故
\[
\int_{\Omega}\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}\mathrm{d}v = \int_{\Omega_{0}}J\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}\mathrm{d}V = \int_{\Omega_{0}}\nabla_{0}\cdot\mathbf{P}\mathrm{d}V
\]
且
\[
\int_{\Omega}\rho\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\mathrm{d}v = \int_{\Omega_{0}}\rho_{0}\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}(\mathbf{X},t)}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\mathrm{d}v
=\int_{\Omega_{0}}\rho_{0}\frac{\partial\mathbf{V}}{\partial\mathrm{t}}\mathrm{d}v\]
于是，方程 (25) 在初始构型上写为
\[\begin{split}
\begin{aligned}
0&=\int_{\Omega_{0}}\left(\nabla_{0}\cdot\mathbf{P}+\mathbf{f}_{0}-\rho_{0}\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}\right)\mathrm{d}V\\
&=\int_{\Omega_{0}}\left(\nabla_{0}\cdot(\mathbf{F}\mathbf{S})+\mathbf{f}_{0}-\rho_{0}\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}\right)\mathrm{d}V
\end{aligned}
\end{split}\]
其中
\[
\mathbf{f}_{0} = J\mathbf{f},\quad
\]
角动量平衡方程#
动量矩的变化率等于作用在连续体上的外力矩的矢量和
若连续体没有体偶（即没有体积相关的力偶），即 \(\lim_{\Delta V\rightarrow0}\Delta M/\Delta V=\mathbf{0}\)，此时 Cauchy 应力张量 \(\boldsymbol{\sigma}\) 对称，且角动量守恒要求满足
\[
\oint_{\Gamma}\mathbf{x}\times\mathbf{t}\mathrm{d}s+\int_{\Omega}\mathbf{x}\times\mathbf{f}\mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}\mathbf{x}\times\rho\mathbf{v}\mathrm{d}v
\]