\[
\mathbf{t}(\mathbf{n})=\lim_{\Delta a\rightarrow0}\frac{\Delta \mathbf{f}(\mathbf{n})}{\Delta a}
\]
Cauchy 公式与应力张量
取一体积为 \(\Delta v\) 的微元四面体，其各个截面上获得的应力（朝侧外正）和面积分别为 \(-\mathbf{t}_{1},-\mathbf{t}_{2},-\mathbf{t}_{3},\mathbf{t}\) 和 \(\Delta a_{1},\Delta a_{2},\Delta a_{3},\Delta a\)，根据牛顿第二定律，有
\[
\mathbf{t}\Delta a-\mathbf{t}_{1}\Delta a_{1}-\mathbf{t}_{2}\Delta a_{2}-\mathbf{t}_{3}\Delta a_{3}+\rho\Delta v\mathbf{f}=\rho\Delta v \mathbf{a}
\]
其中，\(\rho\) 是密度，\(\mathbf{f}\) 是体积力，\(\mathbf{a}\) 是加速度。由于
\[
\Delta a\mathbf{n}-\Delta a_{1}\mathbf{e}_{1}-\Delta a_{1}\mathbf{e}_{2}-\Delta a_{1}\mathbf{e}_{3}=\mathbf{0}
\]
其中，\(\mathbf{n},\mathbf{e}_{i}\) 分别是四个面对应的单位外法向，于是有
\[
\Delta a_{i}=(\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_{i})\Delta a,\quad i=1,2,3
\]
由于 \(\Delta v\) 是 \(\Delta a\) 的高阶无穷小项，因此
\[
\mathbf{t} = (\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_{i})\mathbf{t}_{i}=\mathbf{t}_{i}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_{i})=\mathbf{t}_{i}\mathbf{e}_{i}^{T}\mathbf{n} = (\mathbf{t}_{i}\mathbf{e}_{i}^{T})\mathbf{n},
\]
至此，定义应力张量（Cauchy 应力张量）
\[
\boldsymbol{\sigma}=\mathbf{t}_{i}\mathbf{e}_{i}^{T}=\mathbf{t}_{1}\mathbf{e}_{1}^{T}+\mathbf{t}_{2}\mathbf{e}_{2}^{T}+\mathbf{t}_{3}\mathbf{e}_{3}^{T}
\]
此时
\[
\mathbf{t}(\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}\mathbf{n}
\]
若 \(\mathbf{e}_{i}\) 取为标准正交基，则 \(\boldsymbol{\sigma}\) 的形式与线弹性力学部分推导一致
Piola-Kirchhoff 应力张量
Cauchy 应力张量是单点应力状态最自然，最符合物理的度量方式
在物质（Lagrange）描述中，材料体的运动方程或平衡方程必须针对时刻 \(t\) 的变形后的当前构型 \(\Omega\) 进行推导。然而，由于变形后构型的几何形状通常未知，相关方程只能以已知的参考构型 \(\Omega_{r}\) 为基础进行表述。为此，需要引入不同类型的应力度量。当体积和面积从变形后构型变换到参考构型时，这些应力度量会以一种自然的方式出现。需要注意的是，这些应力度量本质上属于纯数学范畴
第一 Piola-Kirchhoff 应力张量
考虑当前构型上的区域 \(\mathrm{d}\mathbf{a}\) 上的力 \(\mathrm{d}\mathbf{f}\)，于是，根据 Nanson 公式，有
\[
\mathrm{d}\mathbf{f}=\boldsymbol{\sigma}\mathbf{n}\mathrm{d}a=\boldsymbol{\sigma}J\mathbf{F}^{-T}\mathbf{N}\mathrm{d}A = \mathbf{P}\mathbf{N}\mathrm{d}A,
\]
其中
\[
\mathbf{P} = J\boldsymbol{\sigma}\mathbf{F}^{-T}
\]
是第一 Piola-Kirchhoff 应力张量（简称为 PK1 应力张量），通常，PK1 应力张量不是对称的
第二 Piola-Kirchhoff 应力张量
第一 Piola-Kirchhoff 应力张量定义为
\[
\mathbf{S}=\mathbf{F}^{-1}\mathbf{P} = J\mathbf{F}^{-1}\boldsymbol{\sigma}\mathbf{F}^{-T}
\]
简称为 PK2 应力张量，常用于大变形分析
