虚功原理#
当一个力 \(\mathbf{F}\) 作用于材料点并使其发生位移 \(\mathbf{u}\) 时，力所做的功定义为力在位移方向上的分量与位移大小的乘积，即
\[
\mathbf{F}\cdot\mathbf{u}
\]
对于一个物质体 \(\Omega\)，力 \(\mathbf{F}\) 在其上所做的总功为
\[
W = \int_{\Omega}\mathbf{F}\cdot\mathbf{u}\ \mathrm{d}v
\]
如果物质体在力 \(\mathbf{F}\) 的作用下发生了一段无穷小的位移 \(\delta \mathbf{u}\)（称为虚位移），则此时力 \(\mathbf{F}\) 所做的功为
\[
\delta {W} = \int_{\Omega}\mathbf{F}\cdot\delta \mathbf{u}\ \mathrm{d}v
\]
称为虚功。系统处于平衡时，对任意满足约束的虚位移，所有外力（或主动力）的合虚功为零
虚位移（速度）原理#
设在体积力 \(\mathbf{f}\) 与表面力 \(\mathbf{t}\) 作用下虚功率为
\[
\delta W_{E}\equiv-\left(\int_{\Omega}\mathbf{f}\cdot\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}v+\int_{\Gamma_{\sigma}}\mathbf{t}\cdot\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}s\right),
\]
其中，\(\mathbf{v}\) 是速度，\(\Gamma_{\sigma}\) 是力边界，在剩余边界 \(\Gamma_{u} = \Gamma-\Gamma_{\sigma}\) 上，位移是被指定的，因此虚位移（虚速度）在这些边界上满足齐次性条件，即 \(\delta\mathbf{u} = \delta\mathbf{v} = \mathbf{0}\)，故上述方程可以写为
\[
\delta W_{E}\equiv-\left(\int_{\Omega}\mathbf{f}\cdot\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}v+\oint_{\Gamma}\mathbf{t}\cdot\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}s\right),
\]
由于
\[
\mathbf{t}\cdot\delta\mathbf{v} = (\boldsymbol{\sigma}\mathbf{n})\cdot\delta\mathbf{v} = \delta\mathbf{v}^{T}\boldsymbol{\sigma}\mathbf{n} = \mathbf{n}^{T}\boldsymbol{\sigma}\delta\mathbf{v} = (\boldsymbol{\sigma}\delta\mathbf{v})\cdot\mathbf{n}
\]
和
\[
\nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\mathbf{v})=\left(\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}\right) \cdot \mathbf{v}+\boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{v},
\]
故，使用散度定理
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\int_{\Omega}\mathbf{f}\cdot\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}v+\oint_{\Gamma}\mathbf{t}\cdot\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}s&=\int_{\Omega}\mathbf{f}\cdot\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}v+\int_{\Omega}\nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\mathbf{n})\ \mathrm{d}v\\
&=\int_{\Omega}\left((\mathbf{f}+\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma})\cdot\delta\mathbf{v}+\boldsymbol{\sigma}:\nabla\delta\mathbf{v}\right)\ \mathrm{d}v
\end{aligned}
\end{split}\]
对于平衡状态，满足
\[
\mathbf{f}+\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{0},
\]
对于非平衡的情形，右端则需要加上惯性项（加速度）和阻尼项（速度）
因此
(33)#\[
\int_{\Omega}\boldsymbol{\sigma}:\nabla\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}v-\left(\int_{\Omega}\mathbf{f}\cdot\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}v+\oint_{\Gamma}\mathbf{t}\cdot\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}s\right) = 0
\]
第一项被成为内虚功率，记为
\[
\delta W_{I}\equiv\int_{\Omega}\boldsymbol{\sigma}:\nabla\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}v = \int_{\Omega}\boldsymbol{\sigma}:\delta\mathbf{d}\ \mathrm{d}v = \int_{\Omega}\boldsymbol{\sigma}:\delta\mathbf{l}\ \mathrm{d}v
\]
因此，对于处于平衡状态的连续体，所有实际力在通过虚位移时的虚功均为零，即
\[
\delta W \equiv \delta W_{E} + \delta W_{I} = 0
\]
使用虚位移 \(\delta\mathbf{u}\) 推导，则得到
\[
\int_{\Omega}\boldsymbol{\sigma}:\frac{1}{2}\left(\nabla\delta\mathbf{u} + (\nabla\delta\mathbf{u})^{T}\right)\ \mathrm{d}v-\left(\int_{\Omega}\mathbf{f}\cdot\delta\mathbf{u}\ \mathrm{d}v+\oint_{\Gamma}\mathbf{t}\cdot\delta\mathbf{u}\ \mathrm{d}s\right) = 0
\]
对于线弹性问题，有 \(\nabla\delta\mathbf{u}\approx\nabla_{0}\delta\mathbf{u}\)，故第一项变为
\[
\int_{\Omega}\boldsymbol{\sigma}:\frac{1}{2}\left(\nabla\delta\mathbf{u}\ \mathrm{d}v + (\nabla\delta\mathbf{u})^{T}\right) \approx \int_{\Omega}\boldsymbol{\sigma}: \delta\boldsymbol{\varepsilon}\ \mathrm{d}v
\]
将 (33) 转换到初始构型上，得到
\[
\int_{\Omega_{0}}J\boldsymbol{\sigma}:\nabla\delta \mathbf{v}\ \mathrm{d}V - \left(\int_{\Omega_{0}}\mathbf{f}_{0}\cdot\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}V+\oint_{\Gamma_{0}}\mathbf{t}_{0}\cdot\delta\mathbf{v}\ \mathrm{d}S\right) = 0
\]
其中，\(\mathbf{f}_{0} = J\mathbf{f},\mathbf{t}_{0}=\mathbf{t}(\mathrm{d}s/\mathrm{d}S)\)，\(J\boldsymbol{\sigma}\) 被称为 Kirchhoff 应力张量，故
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\delta W_{I} &= \int_{\Omega_{0}}J\boldsymbol{\sigma}:\nabla\delta \mathbf{v}\ \mathrm{d}V = \int_{\Omega_{0}}J\boldsymbol{\sigma}:\delta \mathbf{d}\ \mathrm{d}V\\
&=\int_{\Omega_{0}}J\boldsymbol{\sigma}:\text{sym}(\delta\dot{\mathbf{F}}\mathbf{F}^{-1})\ \mathrm{d}V = \int_{\Omega_{0}}J\boldsymbol{\sigma}:\delta\dot{\mathbf{F}}\mathbf{F}^{-1}\ \mathrm{d}V\\
&=\int_{\Omega_{0}}J\boldsymbol{\sigma}\mathbf{F}^{-T}:\delta\dot{\mathbf{F}}\ \mathrm{d}V=\int_{\Omega_{0}}\mathbf{P}:\delta\dot{\mathbf{F}}\ \mathrm{d}V
\end{aligned}
\end{split}\]
得到其 PK1 应力张量的表达形式；另一方面
\[
\delta W_{I} = \int_{\Omega}\boldsymbol{\sigma}:\delta\mathbf{d}\ \mathrm{d}v=\int_{V_0} \mathbf{S} : \delta \dot{\mathbf{E}} \, dV_0
\]
得到其 PK2 应力张量的表达形式
证明
应力功率是标量，在任何描述下都相等，故
\[
P = \int_{V_0} \mathbf{S} : \dot{\mathbf{E}} \, dV_0 = \int_{V} \boldsymbol{\sigma} : \mathbf{d} \, dV
\]
这是因为
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{E}} = \frac{1}{2} (\dot{\mathbf{F}}^T \mathbf{F} + \mathbf{F}^T \dot{\mathbf{F}}) &= \frac{1}{2}\mathbf{F}^{T}(\mathbf{F}^{-T}\dot{\mathbf{F}}^{T}+\dot{\mathbf{F}}\mathbf{F}^{-1})\mathbf{F}=\mathbf{F}^{T}\mathbf{d}\mathbf{F}
\end{aligned}
\]
由于（迹运算交换）
\[
\mathbf{S} : (\mathbf{F}^T \mathbf{X} \mathbf{F}) = (\mathbf{F} \mathbf{S} \mathbf{F}^T) : \mathbf{X}
\]
故
\[
\mathbf{S} : \dot{\mathbf{E}} = \mathbf{S} : \mathbf{F}^{T}\mathbf{d}\ \mathbf{F} = \mathbf{F}\mathbf{S}\mathbf{F}^{T}:\mathbf{d}
\]
得到
\[
\int_{V_0} \mathbf{S} : \dot{\mathbf{E}} \, dV_0 = \int_{V} J^{-1}\mathbf{F}\mathbf{S}\mathbf{F}^{T}:\mathbf{d} \, dV=\int_{V} \boldsymbol{\sigma} : \mathbf{d} \, dV
\]
由于
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\delta \dot{\mathbf{E}} &= \delta \left(\frac{1}{2} (\dot{\mathbf{F}}^T \mathbf{F} + \mathbf{F}^T \dot{\mathbf{F}})\right)\\
&= \frac{1}{2} \delta\left( (\nabla_0 \mathbf{v})^T \mathbf{F} + \mathbf{F}^T (\nabla_0 \mathbf{v}) \right)\\
&=\frac{1}{2} \left( (\nabla_0 \delta\mathbf{v})^T \mathbf{F} + \mathbf{F}^T (\nabla_0 \delta\mathbf{v}) \right)\\
&=\mathbf{F}^T [\operatorname{sym}(\nabla \delta \mathbf{v})] \mathbf{F}\\
&=\mathbf{F}^T \delta\mathbf{d}\ \mathbf{F}
\end{aligned}
\end{split}\]
于是虚功率
\[
\delta P = \int_{V_0} \mathbf{S} : \delta \dot{\mathbf{E}} \, dV_0=
\int_{V_0} \mathbf{S} : (\mathbf{F}^T \delta\mathbf{d}\ \mathbf{F}) \, dV_0
\]
故
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\delta P &= \int_{V_0} (\mathbf{F}\mathbf{S}\mathbf{F}^{T}) : \delta\mathbf{d}\ \mathrm{d}V_0\\
&=\int_{V} \frac{1}{J}(\mathbf{F}\mathbf{S}\mathbf{F}^{T}) : \delta\mathbf{d}\ \mathrm{d}V\\
&=\int_{V} \boldsymbol{\sigma} : \delta\mathbf{d}\ \mathrm{d}V
\end{aligned}
\end{split}\]
因此
\[
\int_{V_0} \mathbf{S} : \delta \dot{\mathbf{E}} \, dV_0=\int_{V} \boldsymbol{\sigma} : \delta\mathbf{d} \, dV
\]
类似地，对于平衡问题，使用虚位移 \(\delta\mathbf{u}\) 推导
由于
\[
\delta\mathbf{E} = \frac{1}{2}\mathbf{F}^{\mathrm{T}} \left[(\nabla\delta\mathbf{u})^{\mathrm{T}} + \nabla\delta\mathbf{u}\right] \mathbf{F}
\]
故
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\int_{\Omega}\boldsymbol{\sigma}:\frac{1}{2}\left(\nabla\delta\mathbf{u} + (\nabla\delta\mathbf{u})^{T}\right)\ \mathrm{d}v&=\int_{\Omega}J^{-1}\mathbf{F}\mathbf{S}\mathbf{F}^{T}:\frac{1}{2}\left(\nabla\delta\mathbf{u} + (\nabla\delta\mathbf{u})^{T}\right)\ \mathrm{d}v\\
&=\int_{\Omega_{0}}\mathbf{S}:\frac{1}{2}\mathbf{F}^{T}\left(\nabla\delta\mathbf{u} + (\nabla\delta\mathbf{u})^{T}\right)\mathbf{F}\ \mathrm{d}V\\
&=\int_{\Omega_{0}} \mathbf{S}:\delta\mathbf{E}\ \mathrm{d}V
\end{aligned}
\end{split}\]
故得到
(34)#\[
\int_{\Omega_{0}} \mathbf{S}:\delta\mathbf{E}\ \mathrm{d}V - \left(\int_{\Omega_{0}}\mathbf{f}_{0}\cdot\delta\mathbf{u}\ \mathrm{d}V+\oint_{\Gamma_{0}}\mathbf{t}_{0}\cdot\delta\mathbf{u}\ \mathrm{d}S\right) = 0
\]