# 边界条件

边界条件用于描述物体在外力、位移或其他约束作用下的边界行为，是决定物体受力后变形和应力分布的关键因素。通常，边界条件分为**应力边界条件**，**位移边界条件**和**混合边界条件**。记边界为 $\mathcal{B}$

- 应力边界条件：

  $$
  \begin{equation}
  \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}= \mathbf{f}_{b},\quad \text{on}\,\, \mathcal{B}.
  \end{equation}
  $$

- 位移边界条件：

  $$
  \mathbf{u} = \mathbf{u}_{b},\quad \text{on}\,\, \mathcal{B}.
  $$

- 混合边界条件：

  $$
  \begin{equation}
  \begin{aligned}
    \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n} &= \mathbf{f}_{b},\quad &\text{on}\,\, \mathcal{B}_{1},\\
    \mathbf{u} &= \mathbf{u}_{b},\quad &\text{on}\,\, \mathcal{B}_{2}.
  \end{aligned}
  \end{equation}
  $$



在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量等不仅需要满足区域内的三套基本方程，还必须符合边界上的边界条件。因此，弹性力学问题属于数学物理方程中的**边值问题**

## 圣维南原理

严格满足边界条件通常会遇到较大的困难，而**圣维南原理**则为简化局部边界上的应力边界条件提供了极大的便利

```{margin}
静力等效：两个力系如果具有相同的主矢量（合力）和主矩（相对于某点的力矩），那么这两个力系在静力学上是等效的

远场：与应力分量的衰减有关，反映出应力的局部性
```

**圣维南原理**：**静力等效**的力分布仅影响局部区域的应力状态，而对整体结构的远场应力分布几乎没有影响


圣维南原理表明：在距离载荷作用区域足够远的地方，载荷的具体分布方式对结构的应力和变形影响可以忽略不计，只需关注载荷的合力及合力矩的作用效果

```{margin}
$A$ 为截面面积
```

```{figure} ../../images/Elasticity/SV-principle.png
---
width: 400px
name: sec7-fig:SV-principle
---
在小边界上进行静力等效变换
```

```{margin}
对于一端为零的位移边界条件，也可以通过等效的平衡力来进行计算
```

在如图所示的构件中，当将右端截面的拉力替换为均匀分布的拉力（集度为 $\frac{F}{A}$）时，根据圣维南原理，只有靠近虚线所示区域的应力分布会发生显著变化，而远离该区域的其余部分受到的影响可以忽略不计

```{margin}
平衡力系：主矢量和主矩均为零，“局部扰动”
```

```{admonition} 圣维南原理推广
:class: tip, dropdown
如果物体某一小部分边界上施加的面力是一个**平衡力系**，那么这种面力的影响仅局限于施力区域附近，在较远处引起的应力可以忽略不计

这表明，平衡力系的影响具有局部性。两个例子：
- 当没有体力作用时，小孔口边界上的平衡力系仅会在小孔口附近引起局部应力分布
- 在结构中，开孔与不开孔的情况相比，两者的应力分布仅在孔口附近区域存在显著差异，而远离孔口的区域几乎没有影响
```

## 边界条件应用

假设在局部边界 $\Gamma$ 上应力需满足

$$
(\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{n})|_\Gamma = \mathbf{f}
$$

这实际上是一个处处相等的函数方程。然而，这种方程不仅难以求解，而且在实际问题中往往难以严格满足。通过应用圣维南原理，可以将上述条件用**静力等效条件**替代，即

```{margin}
主矢量和主矩方程

$\mathbf{r}$ 为 $\Gamma$ 上某点到参考点的位置向量
```

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\int_\Gamma \boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{n}\, \mathrm{d}\Gamma = \int_\Gamma \mathbf{f}\, \mathrm{d}\Gamma = \mathbf{F},\\
&\int_\Gamma (\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{n}) \times \mathbf{r}\, \mathrm{d}\Gamma = \int_\Gamma \mathbf{f}\times \mathbf{r}\, \mathrm{d}\Gamma = \mathbf{M}.
\end{aligned}
\end{equation}
$$

上式是一个相对更易求解的积分方程，从而显著简化了问题的求解过程