# 平衡方程

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平衡方程揭示了物体在平衡状态下所受各个力之间的关系。通过力的平衡方程（平动平衡）和力矩平衡方程（转动平衡），可以确定不同力之间的数值关系和方向关系
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如图所示，在弹性体内任一点 $C$ 处取出一个矩形微分体，其尺寸为 $\mathrm{d}x$ 和 $\mathrm{d}y$。舍去泰勒展开式中的高阶项后，可以得到各个面的应力分布

```{admonition} 泰勒展开式
:class: tip, dropdown

$$
f(x+\mathrm{d}x) = f(x) + f'(x)\,\mathrm{d}x + \frac{f''(x)}{2!}\,\mathrm{d}x^2 + \frac{f^{(3)}(x)}{3!}\,\mathrm{d}x^3 + \cdots
$$
```

```{margin}
注意应力的方向规定
```

```{margin}
在微分体中，各个面上所受的应力被假定为均匀分布，并作用于对应面的中心
```


```{figure} ../../images/Elasticity/balance-equa.png
---
width: 800px
name: sec3-fig:balance-equa
---
矩形微分体应力分布示意图
```

## 切应力互等定理

考虑以 $C$ 点为中心的力矩平衡方程 $\Sigma M_{C}=0$：

$$
\tau_{xy}\cdot\mathrm{d}y\cdot\frac{1}{2}\mathrm{d}x+\left(\tau_{xy}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}\mathrm{d}x\right)\cdot\mathrm{d}y\cdot\frac{1}{2}\mathrm{d}x-\\

\tau_{yx}\cdot\mathrm{d}x\cdot\frac{1}{2}\mathrm{d}y-\left(\tau_{yx}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}\mathrm{d}y\right)\cdot\mathrm{d}y\cdot\frac{1}{2}\mathrm{d}x=0,
$$

整理得到

$$
\tau_{xy}+\frac{1}{2}\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}\mathrm{d}x=\tau_{yx}+\frac{1}{2}\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}\mathrm{d}y,
$$

于是得到**切应力互等方程**

$$
\tau_{xy}=\tau_{yx}.
$$ (sec3-eq:Shear_stress)

## 平衡方程

```{margin}
对于动能，阻尼项等可类似考虑
```

考虑 $x$ 轴方向的平衡方程 $\Sigma F_{x}=0$：

$$
\left( \sigma_{xx} + \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} dx \right) \cdot dy
-\sigma_{xx} \cdot dy
+
\left( \tau_{yx} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} dy \right) \cdot dx
-\tau_{yx} \cdot dx
+f_x dx dy  = 0,
$$

整理得到

$$
\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + f_x = 0.
$$

类似地，可得到 $y$ 方向上的平衡方程。于是，二维问题中的**平衡方程**为

$$
\begin{cases}
\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + f_x = 0, \\
\frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + f_y = 0.
\end{cases}
$$ (sec3-eq:balance)

可以写为

$$
\nabla\cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f} = \mathbf{0},
$$

其中，$\boldsymbol{\sigma}$ 是应力张量（见后文），$\mathbf{f}$ 是体积力向量

## 任一点的应力状态

在实际问题中，为了全面了解材料在外力作用下的受力状态，通常需要研究某一点在不同取向截面上的应力分布。定义在同一点不同取向截面上的应力之间是否存在内在联系？

对于任意点 $P$ ，以它为中心取一个微元直角三角形 $\triangle ABC$，其中 $\overline{CA}$ 平行于 $x$ 轴，长度为 $\mathrm{d}x$，$\overline{CB}$ 平行于 $y$ 轴，长度为 $\mathrm{d}y$，
设 $\overline{AB}$ 的单位法向量为 $\mathbf{n}=(l,m)$，长度为 $\mathrm{d}s$，于是

$$
\mathrm{d}x = m\mathrm{d}s,\quad \mathrm{d}y = l\mathrm{d}s.
$$

```{figure} ../../images/Elasticity/stress-tensor.png
---
width: 400px
name: sec3-fig:stress-tensor
---
任一点的应力状态
```

设 $\overline{AB}$ 上全应力为 $\mathbf{p}$，沿 $x$ 轴方向和 $y$ 方向的应力分量分别为 $p_{x}$ 和 $p_{y}$，分别建立沿 $x$ 轴方向和 $y$ 方向的平衡方程

```{margin}
切应力互等方程：$\tau_{xy}=\tau_{yx}$
```

$$
\begin{cases}
p_x \, \mathrm{d}s - \sigma_{xx} \, l\mathrm{d}s -  \tau_{yx} \, m  \mathrm{d}s + f_x \frac{l\mathrm{d}s \, m\mathrm{d}s}{2} = 0, \\
p_y \, \mathrm{d}s - \sigma_{yy} \, m  \mathrm{d}s -  \tau_{xy} \, l  \mathrm{d}s + f_y \frac{l\mathrm{d}s \, m\mathrm{d}s}{2} = 0.
\end{cases}
$$

消去微元量，整理得到

$$
\begin{cases}
p_{x} = \sigma_{xx} \, l +  \tau_{yx} \, m, \\
p_{y} = \sigma_{yy} \, m  +  \tau_{xy} \, l.
\end{cases}
$$

这表明，只需知道过点 $P$ 的平行于 $x$ 轴和 $y$ 轴的截面上的应力，就能够计算出任意取向截面上的应力

```{note}
**柯西应力定理**：在二/三维情况下，任意取向截面上的应力可以通过任意两/三个不平行截面上的应力计算出
```

将上式写为矩阵形式

$$
\mathbf{p} = \begin{bmatrix}
p_{x}\\
p_{y}
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{yx} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
l \\
m
\end{bmatrix},
$$ (sec3-eq:stress-tensor-1)

其中

```{margin}
应力张量的**列向量**是相应截面的应力
```

$$
\boldsymbol{\sigma}=\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{yx} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy}
\end{bmatrix}
$$

被称为**应力张量**

$\overline{AB}$ 上的正应力 $\sigma_{n}$ 和切应力 $\tau_{n}$ 分别为

$$
\begin{align*}
\sigma_{n} &= \mathbf{p}\cdot\mathbf{n}=l^{2}\sigma_{xx} + m^{2}\sigma_{yy}+2lm\tau_{xy}=\mathbf{n}^{T}\boldsymbol{\sigma}\mathbf{n},\\
\tau_{n} &= lp_{y}-mp_{x}=lm(\sigma_{yy} - \sigma_{xx})+(l^2-m^2)\tau_{xy}=(\mathbf{n}^\perp)^{T}\boldsymbol{\sigma}\mathbf{n}.
\end{align*}
$$ (sec3-eq:stress-tensor-3)

### 最大正应力和最大切应力

实际工程中通常关注最大正应力和最大切应力，因为它们分别反映了材料在拉伸/压缩和剪切方向上的**极限**受力状态

#### 最大正应力

由于 $\boldsymbol{\sigma}$ 是一个实对称矩阵，因此对于任意 $\mathbf{n}$ 满足

$$
\sigma_2 \leq \mathbf{n}^{T}\boldsymbol{\sigma}\mathbf{n} \leq \sigma_1,
$$

其中，$\sigma_{1}\geq \sigma_{2}$ 为应力张量 $\boldsymbol{\sigma}$ 的特征值。这表明，在点 $P$ 处的最大正应力等于 $\boldsymbol{\sigma}$ 的最大特征值 $\sigma_{1}$。记 $\sigma_{1}$ 对应的单位特征向量为 $\mathbf{n}_{1}$，此时有

$$
\mathbf{p} = \boldsymbol{\sigma}\mathbf{n}_{1} = \sigma_{1}\mathbf{n}_{1},
$$

因此，单位法向量为 $\mathbf{n}_{1}$ 的选取截面上的应力大小与 $\sigma_{1}$ 相同，方向为截面法方向，这表明此时切应力为 0

将切应力为 0 的截面称为**主应力面**，主应力面上的正应力被称为**主应力**，主应力面的法向方向被称为**主应力方向**。容易知道，点 $P$ 处的主应力大小就是应力张量 $\boldsymbol{\sigma}$ 的特征值，方向与对应的特征向量相同 

此外，由于 $\boldsymbol{\sigma}$ 是实对称矩阵，因此其特征值所对应的特征向量是正交的，即**主应力相互正交**

如果将 $x$ 轴和 $y$ 轴分别选定为两个主应力方向，则在该坐标系下，应力张量表示为一个对角矩阵

$$
\boldsymbol{\sigma}=\begin{bmatrix}
\sigma_{1} & 0 \\
0 & \sigma_{2}
\end{bmatrix}.
$$

```{admonition} 基变换与张量变换
:class: tip, dropdown

应力张量作为线性算子，将任意截面的法向量映射为该截面上的应力矢量。在不同基底下，应力张量的矩阵表示通过相似变换关联；当基底间为旋转关系时,其矩阵表示满足正交相似变换。
```

#### 最大切应力

```{margin}
主应力面上切应力为零，这一特性可用于简化应力分析过程
```

将 $x$ 轴和 $y$ 轴分别选定为两个主应力方向，此时，根据切应力计算公式 {eq}`sec3-eq:stress-tensor-3`，有

$$
\tau_{n} = lm(\sigma_{2} - \sigma_{1}),
$$

代入 $l^2 + m^2 = 1$ 消去 $m$，得到

$$
\tau_n = \pm \sqrt{\frac{1}{4} - \left(\frac{1}{2} - l^2\right)^2} \, (\sigma_2 - \sigma_1),
$$

当 $ \frac{1}{2} - l^2 = 0 $ 时，切应力 $ \tau_n $ 取得最大值，为 $\tau_{n} = \frac{1}{2} (\sigma_1 - \sigma_2)$，
此时对应截面的法向量与主应力面之间的夹角为 $ 45^\circ $，此时正应力为 $\sigma_{n} = \frac{1}{2} (\sigma_1 + \sigma_2)$

```{note}
对于三维情形，参阅[最大剪切应力](../Plasticity/chap2/sec1-tresca.md) 
```