# 弹性力学的基本假设

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弹性力学通过一系列基本假定建立数学方程，以此为基础求解物体在外力作用下的应力与应变分布。这些假定确保了理论的简化性与适用性，从而使复杂的力学问题能够通过解析方法或数值方法得到有效解决
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为建立数学方程并求解，通常需按照所研究的物体的性质，求解问题的范围，作出若干基本假定，抓住主要矛盾，略去影响很小的次要因素

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连续性假设是**宏观视角**下的一种理想化处理方法，它为**宏观分析**奠定了理论基础，同时也是应用连续介质力学方法进行求解的基本前提，这些假设也均应从连续介质力学方法论的角度理解
```

```{margin}
**多尺度计算**是一种通过耦合不同时间和空间尺度模型，协调微观细节与宏观行为，以精准高效地解决复杂系统问题的计算方法
```

1. **连续性假设**：物体的体积被其**组成物质**无缝填满，从而使应力、应变和位移等物理量可通过连续函数表示

    - 举例对比

        | 宏观孔隙内流动  | 纳米孔隙内流动 |
        |:-----------:|:-------:|
        |  孔隙尺寸远大于分子自由程 | 孔隙尺寸接近分子自由程 |
        | 基于宏观尺度研究  | 基于微观尺度研究 |
        | **最小单位：流体微元**   |  **最小单位：流体分子**  |      
        | 采用连续介质力学理论   | 采用分子动力学等微观尺度方法   |


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均匀性假设与各向同性假设均基于宏观尺度，在实际计算中，并不要求整个区域完全均匀，而是强调**在计算尺度内满足均匀性**的要求。此外，材料的各向同性或各项异性也可以基于这种局部均匀性假设进行建立（举例：玻璃罐装大小钢珠）
```

2. **均匀性假设**：材料属性与**位置**无关
3. **各向同性假设**：材料属性与**方向**无关 

- 均匀且各向同性：玻璃、金属、液体
- 均匀但各向异性：复合材料、层状材料、单晶硅
- 不均匀但各向同性：颗粒材料、泡沫材料
- 不均匀且各向异性：天然木材、多晶材料、碳纤维复合材料

从连续介质力学理论的角度看，后两种材料在整体上是不均匀性的，但局部仍可以视为均匀的

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完全弹性假设表明了物体的形变在任一瞬时仅由当时所受外力决定，与过去的受力情况无关
```

4. **完全弹性假设**：物体在引起形变的外力被除去以后能完全恢复原形

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小变形假定通过忽略几何和物理的**非线性效应**，极大简化了力学分析
```

5. **小变形假设**：物体在受力后，所有各点的位移都远小于物体原来的尺寸，且应变与转角都远小于1

```{admonition} 微元分析法
:class: tip, dropdown

基于连续性假设，将复杂的连续体或系统**划分**为无数个“微元”或“微小单元”，在每个微元上建立**局部的物理或数学关系**，并通过**积分或叠加**的方法，将局部规律推广至整体范围，从而得到系统的**整体规律或解答**
```

在弹性力学问题中，通常已知物体的形状和尺寸、弹性常数、体力作用及边界作用，
求解应力分量、形变分量和位移分量。为此，在弹性体区域内部需要综合考虑**静力学**、**几何学**
和**物理学**三方面的条件，分别建立以下方程：  

1. **平衡方程**：微分体的平衡条件
2. **几何方程**：微分线段上应变与位移的关系
3. **本构方程**：应力与应变的本构关系

此外，还需要在弹性体的边界上建立边界条件，如**应力边界条件**和**位移边界条件**