# 应力 应变 位移

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应力、应变和位移是弹性力学中的基本物理量，它们共同揭示了材料在外力作用下的力学行为。应力描述了材料内部的力分布状态，应变反映了材料的变形程度，而位移则刻画了材料各点因受力而产生的位置变化。这三者通过平衡方程、几何方程和本构方程紧密联系，构成了弹性力学分析的核心框架
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当物体受到外部作用时，其内部的受力状态、几何形状以及空间位置可能会发生变化。这些变化分别对应于应力、应变和位移的概念：

1. **应力**：描述物体内部的**受力状态**，反映材料在外力作用下抵抗变形或破坏的能力。应力是研究物体强度和稳定性的核心指标
2. **应变**：描述物体**几何形状**的变化，表示物体在受力后形变的程度。应变是衡量材料在外力作用下变形特性的关键参数
3. **位移**：描述物体**空间位置**的变化，指物体在受力作用下，各点从初始位置移动到新位置的过程。位移是研究物体运动和变形行为的基础参数


## 应力

作用在物体上的力通常可以分为体积力和表面力两大类：

1. **体积力**：作用在物体整个体积上的力，如重力、电磁力和惯性力，通常由场力引起
2. **表面力**：作用在物体表面上的力，如压力、摩擦力等，通常由物体与外部环境接触引起

作用于固体表面的力通过表层分子依靠**分子间的相互作用力**向各个方向传递，最终影响固体内部任意一点的受力状态。固体内部由于分子间相互作用而产生的力被称为**内力**

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借助微观结构，有助于深入地理解固体的力学性质。例如，为什么某一点会受到来自各个方向的应力？为什么一个方向的外力会引起另一个方向的形变？
```

```{figure} ../../images/Elasticity/stress-1.png
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width: 400px
name: sec1-fig:stress-1
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表面力通过分子间的相互作用力向各个方向传递
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为了研究物体内部某一点 $P$ 处的内力，通过 $P$ 点作一个截面 $R$，将物体分为 $I$ 和 $II$ 两个部分。在截面 $R$ 上，部分 $I$ 对部分 $II$ 施加作用力

```{figure} ../../images/Elasticity/stress-2.png
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width: 400px
name: sec1-fig:stress-3
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通过截面法暴露内力
```

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截面的法向量为常量；$\Delta \mathbf{F}$ 是矢量，且随空间位置变化
```

取截面 $R$ 上包含点 $P$ 的面积为 $\Delta A$ 上的区域，设作用在该区域上的内力为 $\Delta \mathbf{F}$，记 $\frac{\Delta \mathbf{F}}{\Delta A}$ 为内力的**平均集度**（平均应力），于是在点 $P$ 处的应力定义为

```{margin}
应力是单位面积的力
```

$$
\lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta \mathbf{F}}{\Delta A} = \mathbf{p}
$$

```{margin}
若 $\Delta A$ 是变形前的面积，则 $\mathbf{P}$ 被称为工程应力
```

$\mathbf{P}$ 称为 Cauchy 应力，也称真实应力，直接反映了物体在当前状态下受力情况

应力可以分解为沿其作用截面的法线方向的分量和切向方向的分量，分别称为**正应力** $\sigma$ 和**切应力** $\tau$。这两个分量与物体的形变行为及材料的强度密切相关

## 应变
假设物体发生变形后，点 $A$ 和点 $B$ 分别移动到了 $A^{'}$ 和 $B^{'}$。由此，线段（例如，$\overline{PA},\overline{PB}$）的长度发生了伸缩变化，它们的夹角也发生改变

```{figure} ../../images/Elasticity/strain-1.png
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width: 300px
name: sec1-fig:stress-2
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形变可以总结为长度与角度的改变
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```{margin}
线应变是无量纲量，以伸长为正  
切应变的单位是弧度，以直角角度变小为正
```

1. **线应变**：也称**正应变**，表示物体单位长度的伸缩变化
2. **切应变**：表示由直角夹角发生的改变，用于描述形状的剪切变形程度

## 位移

位移描述了物体中各点空间位置的变化。点与点之间的相对位移决定了物体的形变状态，因为形变的本质是由不同点之间的位置变化差异所引起的

```{note}
**应变描述了相对位置的变化，位移反映了绝对位置的变化**

当物体中各个点的位移均为 $\mathbf{0}$ 时，物体一定没有发生形变；然而，当物体未发生形变时，各个点的位移未必为 $\mathbf{0}$。例如，在**刚体**运动的情况下，物体可能整体发生**平移**或**旋转**
```